分数阶混沌系统的函数级联同步算法研究
混沌系统因其对初值的敏感性和自身所具有的随机性，使其非常适合用于对信息进行加密的技术中。随着当今社会计算机技术与网络安全技术的多种需求与高速发展，“混沌”吸引了越来越多专家与学者的重视和研究。并且较整数阶而言，分数阶混沌系统因其更加复杂而更适合用于信息的加密和保护。在本毕业论文中，我们基于Lyapunov稳定性理论，提出了分数阶混沌系统的函数级联同步方法，然后应用这种同步方法对统一系统、Liu系统和Rossler系统这三个具体的分数阶混沌系统的进行了研究，同时引入预估校正方法，实现了这三个混沌系统的函数级联同步；最后，我们在计算机符号计算MATLAB的基础上，对所得结果进行了数值模拟，验证了所提出方法的有效性。
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
1 绪论1
1.1 混沌的发展背景及研究意义1
1.1.1 混沌的定义、特征与同步方法1
1.1.2 混沌的研究意义2
1.2 分数阶混沌系统的研究2
1.3 本文的工作安排3
2 预备知识3
2.1 分数阶微分算子3
2.1.1 分数阶微分算子的定义及性质3
2.1.2 分数阶微分算子的求解方法4
2.2 分数阶混沌系统的函数级联同步方法的介绍5
3 三个分数阶混沌系统的函数级联同步的实现及其数值模拟6
3.1 统一系统6
3.2 Liu系统8
3.3 Rossler系统9
4 总结与展望11
致谢11
参考文献12
分数阶混沌系统的函数级联同步算法研究
引言
1 绪论
1．1 混沌的研究背景及研究意义
1．1．1 混沌的定义、特征与同步方法
“混沌”这一词听起来十分陌生，但它对我们来说并不遥远。事实上“混沌”在自然界中是普遍存在的。“混沌”所进行的运动是类似随机且无规律的。目前，混沌的定义并不十分统一，不同的专家根据不同的研究方向，给出了不同的定义。在数学领域中，一般来说经常提到的一 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
个“混沌”的定义就是“混沌定义”。
二十世纪七十年代，Li和Yorke两人在《American Mathematical Monthly》上提出了“周期3意味着混沌”这一想法。两位作者在这篇文章中提出了混沌的定义：
将区间定义为一个连续的、单参数的自身映射，其形式如下：
也可以写成点映射的形式：。
定义：一个连续映射或者点映射，称为是混沌的，如果：
（1）存在一切周期的周期点；
（2）存在一个不可数子集，其中子集不含周期点，使得：
当然，除了“定义”以外还有其他的混沌定义，如定义、定义等等，本文不做过多介绍。
混沌虽然是一种非常复杂的运动，但是我们仍然能够找到它所特有的一些基本特征，具体体现在以下几个方面：
（1）它在由确定性条件所约束的系统中时，却又体现出随机性；
（2）它在由确定性条件所约束的系统中，表现出非周期行为；
（3）它是有界的；
（4）它对给定的初值有着高度敏感性；
（5）它具有拓扑传递性；
（6）它具有遍历性；
（7）它具有自相似性。
“混沌的同步”已经是目前科学界十分重要、有价值的科研领域。二十世纪九十年代，美国的两位科学家和第一次在学术界提出“混沌同步”这一概念，随后，它非常顺利的运用到了密码学等相关领域中，与“混沌的同步”相关的工程项目研究便由此拉开序幕。此后，科学家们将重心逐渐放在了“混沌的同步”上，“混沌的同步”也成为了一个热门与潮流。“混沌的同步”的定义是：多个混沌系统（即系统的个数要大于1）在耦合或者驱动的催动下，它们的运动轨迹渐进趋向一致的这一过程。如今人们已经找到了多种同步的方法，如同步方法、同步方法、同步方法、同步方法等。
1．1．2 混沌的研究意义
自从两位科学家Li和York提出了“周期3意味着混沌”这一想法后，“混沌(chaos)”被第一次在科学界被正式提出并且一直沿用到了现在。现如今随着网络通讯技术的迅猛发展，混沌学成为了不断蓬勃发展、走在社会前沿的一门学科。混沌学逐渐开始由从前的单一学科开始进行多分枝的拓展，由此衍生出了不少混沌的子学科，产生了许许多多优秀的经验与成果。不仅如此，科学研究者也已经发现了混沌在生物学、医学、保密通讯、神经网络等不同的领域中都有着非常重要的应用价值和广阔的发展前景。
分数阶混沌系统在计算机及网络通讯中将起到更有效的作用，它能够加密和保护信息。分数阶混沌系统可以对密码进行加强保护，因此密码的破译工作将会变得异常复杂、难以破解。所以我们可以知道，分数阶混沌系统在一些方面比整数阶更有价值。
1．2 分数阶混沌系统的研究
如今，根据已知的稳定性理论已经出现了许多可靠的方法来进行混沌系统的同步以及混沌系统的控制。可是对于分数阶混沌系统来说，由于它本身特殊的性质，整数阶中的很多经典的稳定性定理不能够运用到分数阶中去。如稳定性定理，在分数阶混沌系统中就不能直接使用。由此看来分数阶混沌系统同步与控制的研究工作相比整数阶而言更加困难但也更有价值。
分数阶混纯系统主要分成如下两种①是将整数阶变换到分数阶的环境，从而得到分数阶混纯系统，②是工程研究中发现的分数阶混纯系统。在发现的分数阶混沌系统中，其阶数一般在0和1之间。
1．3 本文的工作安排
在本毕业设计中，我们提出了分数阶混沌系统的函数级联同步方法，然后给出一些具体事例来验证所提出方法的有效性，具体研究内容安排如下：
在第二章中，我们简单介绍了分数阶微分算子的定义、性质及求解方法，并给出了分数阶混沌系统函数级联同步算法的格式；
在第三章中，我们以统一混沌系统，Liu系统和Rossler系统为例，详细介绍分数阶混沌系统的函数级联同步方法，通过设计适当的控制子，实现了分数阶混沌系统的函数级联同步，最后我们利用数值模拟的方法验证了所得结果的正确性；
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
1 绪论1
1.1 混沌的发展背景及研究意义1
1.1.1 混沌的定义、特征与同步方法1
1.1.2 混沌的研究意义2
1.2 分数阶混沌系统的研究2
1.3 本文的工作安排3
2 预备知识3
2.1 分数阶微分算子3
2.1.1 分数阶微分算子的定义及性质3
2.1.2 分数阶微分算子的求解方法4
2.2 分数阶混沌系统的函数级联同步方法的介绍5
3 三个分数阶混沌系统的函数级联同步的实现及其数值模拟6
3.1 统一系统6
3.2 Liu系统8
3.3 Rossler系统9
4 总结与展望11
致谢11
参考文献12
分数阶混沌系统的函数级联同步算法研究
引言
1 绪论
1．1 混沌的研究背景及研究意义
1．1．1 混沌的定义、特征与同步方法
“混沌”这一词听起来十分陌生，但它对我们来说并不遥远。事实上“混沌”在自然界中是普遍存在的。“混沌”所进行的运动是类似随机且无规律的。目前，混沌的定义并不十分统一，不同的专家根据不同的研究方向，给出了不同的定义。在数学领域中，一般来说经常提到的一 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
个“混沌”的定义就是“混沌定义”。
二十世纪七十年代，Li和Yorke两人在《American Mathematical Monthly》上提出了“周期3意味着混沌”这一想法。两位作者在这篇文章中提出了混沌的定义：
将区间定义为一个连续的、单参数的自身映射，其形式如下：
也可以写成点映射的形式：。
定义：一个连续映射或者点映射，称为是混沌的，如果：
（1）存在一切周期的周期点；
（2）存在一个不可数子集，其中子集不含周期点，使得：
当然，除了“定义”以外还有其他的混沌定义，如定义、定义等等，本文不做过多介绍。
混沌虽然是一种非常复杂的运动，但是我们仍然能够找到它所特有的一些基本特征，具体体现在以下几个方面：
（1）它在由确定性条件所约束的系统中时，却又体现出随机性；
（2）它在由确定性条件所约束的系统中，表现出非周期行为；
（3）它是有界的；
（4）它对给定的初值有着高度敏感性；
（5）它具有拓扑传递性；
（6）它具有遍历性；
（7）它具有自相似性。
“混沌的同步”已经是目前科学界十分重要、有价值的科研领域。二十世纪九十年代，美国的两位科学家和第一次在学术界提出“混沌同步”这一概念，随后，它非常顺利的运用到了密码学等相关领域中，与“混沌的同步”相关的工程项目研究便由此拉开序幕。此后，科学家们将重心逐渐放在了“混沌的同步”上，“混沌的同步”也成为了一个热门与潮流。“混沌的同步”的定义是：多个混沌系统（即系统的个数要大于1）在耦合或者驱动的催动下，它们的运动轨迹渐进趋向一致的这一过程。如今人们已经找到了多种同步的方法，如同步方法、同步方法、同步方法、同步方法等。
1．1．2 混沌的研究意义
自从两位科学家Li和York提出了“周期3意味着混沌”这一想法后，“混沌(chaos)”被第一次在科学界被正式提出并且一直沿用到了现在。现如今随着网络通讯技术的迅猛发展，混沌学成为了不断蓬勃发展、走在社会前沿的一门学科。混沌学逐渐开始由从前的单一学科开始进行多分枝的拓展，由此衍生出了不少混沌的子学科，产生了许许多多优秀的经验与成果。不仅如此，科学研究者也已经发现了混沌在生物学、医学、保密通讯、神经网络等不同的领域中都有着非常重要的应用价值和广阔的发展前景。
分数阶混沌系统在计算机及网络通讯中将起到更有效的作用，它能够加密和保护信息。分数阶混沌系统可以对密码进行加强保护，因此密码的破译工作将会变得异常复杂、难以破解。所以我们可以知道，分数阶混沌系统在一些方面比整数阶更有价值。
1．2 分数阶混沌系统的研究
如今，根据已知的稳定性理论已经出现了许多可靠的方法来进行混沌系统的同步以及混沌系统的控制。可是对于分数阶混沌系统来说，由于它本身特殊的性质，整数阶中的很多经典的稳定性定理不能够运用到分数阶中去。如稳定性定理，在分数阶混沌系统中就不能直接使用。由此看来分数阶混沌系统同步与控制的研究工作相比整数阶而言更加困难但也更有价值。
分数阶混纯系统主要分成如下两种①是将整数阶变换到分数阶的环境，从而得到分数阶混纯系统，②是工程研究中发现的分数阶混纯系统。在发现的分数阶混沌系统中，其阶数一般在0和1之间。
1．3 本文的工作安排
在本毕业设计中，我们提出了分数阶混沌系统的函数级联同步方法，然后给出一些具体事例来验证所提出方法的有效性，具体研究内容安排如下：
在第二章中，我们简单介绍了分数阶微分算子的定义、性质及求解方法，并给出了分数阶混沌系统函数级联同步算法的格式；
在第三章中，我们以统一混沌系统，Liu系统和Rossler系统为例，详细介绍分数阶混沌系统的函数级联同步方法，通过设计适当的控制子，实现了分数阶混沌系统的函数级联同步，最后我们利用数值模拟的方法验证了所得结果的正确性；
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