矩阵的几何重数与代数重数的关系及应用
本文通过代数学的基本定理，线性空间定理，以及矩阵的基本定理，阐述复数域上阶方阵的特征值的几何重数与代数重数的关系。阶矩阵可对角化的充要条件为矩阵有个线性无关的特征向量，因此本文通过计算一个矩阵每个特征值的几何重数和对应的代数重数，在实际计算中，给出判断一个矩阵是否可以对角化的简化过程。本文也给出了一些具体应用来验证我们的结论具有一定实用性。这对我们学习线性代数知识具有一定的指导作用。
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1预备数学理论2
1.1定义12
1.2定理12
1.3定义22
1.4定理22
2 定理和推论及其证明3
2.1定理33
2.2定理3的证明3
2.3推论4
2.4定义34
2.5定理44
2.6定理55
3定理应用5
3.1例16
3.2例26
3.3例36致谢8
参考文献8
矩阵的几何重数与代数重数的关系及应用
引言
引言
矩阵的几何重数为阶方阵的一个特征值对应的特征子空间的维数；矩阵的代数重数为A的特征多项式对应的零点的重数。几何重数和代数重数都是针对矩阵某个特征值来说的。一个矩阵的某个特征值的几何重数即为该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的Jordan块的个数；一个矩阵的某个特征值的代数重数即为该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的所有Jordan块的阶数之和。所以一个一般的矩阵它的几何重数和代数重数不一定是相等关系。
线性代数中，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示，为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。相似变换对角化是矩阵的一种重要变换，相似对角化问题与矩阵的特征值和特征向量有着密切的联系。
矩阵的对角化有十分重要的意义。在解析几何、系统理论以及经济理论方面都有重要的应用。对角化的过 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
程突出了矩阵的特征值信息,同时过度矩阵P又反映了特征向量的信息。相似是一种矩阵上的等价关系,矩阵对角化相当于对某一类的矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这十分方便于理论上的分析。相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征特征根,行列式，多项式等。对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便。
一般的线性代数书本中对于矩阵相似对角化的条件定义为：对于矩阵阶矩阵有个线性无关的特征向量。实际通过计算我们比较容易得到的是一个矩阵每个特征值的几何重数和对应的代数重数。在矩阵论的有关书籍中，有些已经指出判断矩阵是否可对角化的条件是每一个特征值的几何重数都等于其代数重数。本文将在已经给出的可对角化的条件的基础上，给出定理的证明条件，并且给出矩阵的几何重数与代数重数的关系及应用。
1 预备数学理论
为了行文方便起见，我们先给出如下定义。
1.1定义1
阶方阵的一个特征值对应的特征子空间的维数叫做方阵的关于特征值的几何重数。A的特征多项式对应的零点的重数叫做方阵的特征值的代数重数。
1.2定理1
一个阶方阵可对角化的充分必要条件为的所有不同特征值对应的几何重数之和为。
证明：见线性代数教科书。
为了给出矩阵的几何重数与代数重数的关系，我们先给出如下结论：
1.3定义2
设A,B是两个同阶方阵，如果存在可逆矩阵X，使得,就说A相似于B，记做A～B。
定理：相似矩阵具有相同特征值。
证明：设A、B为相似矩阵。特征值为特征多项式的根。
则：
=>
==
==
=
所以相似矩阵的特征值相同。
1.4定理2
代数学基本定理：
任何一个一元次多项式在复数域内至少有一根。也可以表示为：任何一个一元次多项式在复数域内有个根(重根按重数计算)”。
用代数的方法证明该定理极其复杂，如果我们将复数域理解为复平面，也就是将的根理解为它在复平面上的零点，这种情况下就可以使用复变函数的基本理论去证明代数学基本定理,引用刘维尔定理和借助复变函数的理论：有界且处处解析的函数必为常数，可以证明代数学基本定理。
首先引用刘维尔定理：有界且处处解析的函数必为常数。
证明：是有界且处处解析的函数，即，使得，
,,在上解析,所以
令，可见，，从而在上恒等于常数。
然后证明代数学基本定理：
假设在平面上无零点，则为解析的,
且当时，对而言，是处处解析的，又因为所以在上有界,由刘维尔定理可得：为常数，这与不是常数矛盾,所以得到一元次方程在内至少有一个根。
该证明利用反证法，构造辅助函数，由为整函数且在上有界，得到为常数，这与假设内容矛盾，于是得出结论一元次方程在内至少有一个根。
2 定理的证明及推论
有了上面的理论作为基础，下面具体给出一个阶方阵的每一个特征值对应的几何重数与代数重数的关系，定理3为有关理论的证明。
2.1定理3
设是一个阶方阵，则的每个特征值的几何重数都不超过其代数重数。特别地，当代数重数为1时候，其对应的几何重数也为1。
2.2定理3的证明
设为A的特征值，其几何重数为，设C是一个非奇异的阶方阵，其前K列向量恰为属于特征值的个线性无关的特征向量不妨设C的后个列向量为于是
由n+1个n维向量一定线性相关知，该定理相当于奇次方程组中未知量的个数为n+1大于方程的个数n，所以必有非零解，所以必定线性相关。所以必线性相关，又因为是非奇异方阵，所以线性无关，故必可由线性表出
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1预备数学理论2
1.1定义12
1.2定理12
1.3定义22
1.4定理22
2 定理和推论及其证明3
2.1定理33
2.2定理3的证明3
2.3推论4
2.4定义34
2.5定理44
2.6定理55
3定理应用5
3.1例16
3.2例26
3.3例36致谢8
参考文献8
矩阵的几何重数与代数重数的关系及应用
引言
引言
矩阵的几何重数为阶方阵的一个特征值对应的特征子空间的维数；矩阵的代数重数为A的特征多项式对应的零点的重数。几何重数和代数重数都是针对矩阵某个特征值来说的。一个矩阵的某个特征值的几何重数即为该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的Jordan块的个数；一个矩阵的某个特征值的代数重数即为该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的所有Jordan块的阶数之和。所以一个一般的矩阵它的几何重数和代数重数不一定是相等关系。
线性代数中，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示，为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。相似变换对角化是矩阵的一种重要变换，相似对角化问题与矩阵的特征值和特征向量有着密切的联系。
矩阵的对角化有十分重要的意义。在解析几何、系统理论以及经济理论方面都有重要的应用。对角化的过 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
程突出了矩阵的特征值信息,同时过度矩阵P又反映了特征向量的信息。相似是一种矩阵上的等价关系,矩阵对角化相当于对某一类的矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这十分方便于理论上的分析。相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征特征根,行列式，多项式等。对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便。
一般的线性代数书本中对于矩阵相似对角化的条件定义为：对于矩阵阶矩阵有个线性无关的特征向量。实际通过计算我们比较容易得到的是一个矩阵每个特征值的几何重数和对应的代数重数。在矩阵论的有关书籍中，有些已经指出判断矩阵是否可对角化的条件是每一个特征值的几何重数都等于其代数重数。本文将在已经给出的可对角化的条件的基础上，给出定理的证明条件，并且给出矩阵的几何重数与代数重数的关系及应用。
1 预备数学理论
为了行文方便起见，我们先给出如下定义。
1.1定义1
阶方阵的一个特征值对应的特征子空间的维数叫做方阵的关于特征值的几何重数。A的特征多项式对应的零点的重数叫做方阵的特征值的代数重数。
1.2定理1
一个阶方阵可对角化的充分必要条件为的所有不同特征值对应的几何重数之和为。
证明：见线性代数教科书。
为了给出矩阵的几何重数与代数重数的关系，我们先给出如下结论：
1.3定义2
设A,B是两个同阶方阵，如果存在可逆矩阵X，使得,就说A相似于B，记做A～B。
定理：相似矩阵具有相同特征值。
证明：设A、B为相似矩阵。特征值为特征多项式的根。
则：
=>
==
==
=
所以相似矩阵的特征值相同。
1.4定理2
代数学基本定理：
任何一个一元次多项式在复数域内至少有一根。也可以表示为：任何一个一元次多项式在复数域内有个根(重根按重数计算)”。
用代数的方法证明该定理极其复杂，如果我们将复数域理解为复平面，也就是将的根理解为它在复平面上的零点，这种情况下就可以使用复变函数的基本理论去证明代数学基本定理,引用刘维尔定理和借助复变函数的理论：有界且处处解析的函数必为常数，可以证明代数学基本定理。
首先引用刘维尔定理：有界且处处解析的函数必为常数。
证明：是有界且处处解析的函数，即，使得，
,,在上解析,所以
令，可见，，从而在上恒等于常数。
然后证明代数学基本定理：
假设在平面上无零点，则为解析的,
且当时，对而言，是处处解析的，又因为所以在上有界,由刘维尔定理可得：为常数，这与不是常数矛盾,所以得到一元次方程在内至少有一个根。
该证明利用反证法，构造辅助函数，由为整函数且在上有界，得到为常数，这与假设内容矛盾，于是得出结论一元次方程在内至少有一个根。
2 定理的证明及推论
有了上面的理论作为基础，下面具体给出一个阶方阵的每一个特征值对应的几何重数与代数重数的关系，定理3为有关理论的证明。
2.1定理3
设是一个阶方阵，则的每个特征值的几何重数都不超过其代数重数。特别地，当代数重数为1时候，其对应的几何重数也为1。
2.2定理3的证明
设为A的特征值，其几何重数为，设C是一个非奇异的阶方阵，其前K列向量恰为属于特征值的个线性无关的特征向量不妨设C的后个列向量为于是
由n+1个n维向量一定线性相关知，该定理相当于奇次方程组中未知量的个数为n+1大于方程的个数n，所以必有非零解，所以必定线性相关。所以必线性相关，又因为是非奇异方阵，所以线性无关，故必可由线性表出
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