微分方程的分类与化简(附件)【字数：6505】
摘 要摘 要步入21世纪，物理、医学等学科有了进一步发展和完善，随之微分方程相关理论被更加广泛的应用在各个专业领域中。 微分方程理论在物理、机械和其他学科研究中占有很重要的作用，微分方程不仅应用在传统的应用数学内容之中，并且也是现代数学的重要组成部分之一。微分方程是实践应用与数学理论之间的重要的桥梁，微分方程特别是非线性微分方程和非线性偏微分方程一直非常活跃在拓展应用研究领域。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。本文从微分方程的产生背景出发，阐述了微分方程的定义和微分方程模型，并深入研究了一阶齐次线性偏微分方程、一阶线性偏微分方程、一阶拟线性非齐次偏微分方程、双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、椭圆型偏微分方程、两个自变量的二阶线性偏微分方程、n个自变量的二阶线性偏微分方程，并且探讨了偏微分方程在人口问题中和传染病动力学中的应用，最后给出了本文的结论。关键词微分方程；线性偏微分方程；椭圆型方程
目 录
第一章 绪 论 1
1.1 研究背景 1
1.2 研究意义和目的 1
1.3 研究方法 1
第二章 相关理论概述 2
2.1 微分方程的定义 2
2.2 微分方程模型 3
第三章 微分方程的分类与化简 5
3.1 一阶齐次线性偏微分方程 5
3.2 一阶线性偏微分方程 7
3.3 一阶拟线性非齐次偏微分方程 11
3.4 两个自变量的二阶线性偏微分方程 14
3.4.1 双曲型偏微分方程 15
3.4.2 抛物型偏微分方程 17
3.4.3 椭圆型偏微分方程 18
3.5 个自变量的二阶线性偏微分方程 23
第四章 偏微分方程的简单应用 25
4.1 偏微分方程在人口学问题中的应用 25
4.2 偏微分方程在传染病动力学中的应用 25
结 论 27
致 谢 28
参考文献 29
第一章 绪 论
1.1研究背景
微分方程的形成和发展同其他科学和新技术的发展有着密切相关的，如复杂的函数 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
，李群，拓扑结构的组合.计算机的发展对微分方程的发展造成了很大的影响。随着微分方程理论逐步完善，它可以准确地表达事物变化的基本规律。随着物理、医学等学科的进一步发展和完善，微分方程相关理论在各个专业领域中的应用范围更加广泛. 微分方程理论在物理、机械和其他学科研究中占有很重要的作用，微分方程的应用不仅是传统的应用数学的主要内容之一，并且也是现代数学的重要组成部分之一。微分方程当之无愧是数学理论与实践应用之间的重要桥梁，微分方程特别是非线性微分方程和非线性偏微分方程一直非常活跃在拓展应用研究领域。
1.2研究意义和目的
在其他领域的自然科学和技术科学方面，提出了大量的微分方程的问题。因此，生产社会实践是微分方程的不竭源泉。微分方程与数学模型的关系也很密切，微分方程与数学模型是相互联系和相互促进的。随着研究的深入，一些以前可用线性微分方程解决问题，还必须考虑非线性的影响，因此针对非线性偏微分方程研究，特别是对非线性偏微分方程研究的精确解，有一个非常重要的理论价值和实践。
1.3研究方法
本文采用文献调查法、案例分析法及对比研究法对偏微分方程进行研究。本文首先阐述了微分方程的定义和微分方程模型，并深入研究了一阶齐次线性偏微分方程、一阶线性偏微分方程、一阶拟线性非齐次偏微分方程、双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、椭圆型偏微分方程、两个自变量的二阶线性偏微分方程、n个自变量的二阶线性偏微分方程，最后探讨了偏微分方程在人口问题中和传染病动力学中的实际应用。
第二章 相关理论概述
2.1 微分方程的定义
将自变量、未知函数以及它的导数关联起来的关系式叫做微分方程. 仅仅只含有一个自变量的微分方程叫做常微分方程. 自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫做偏微分方程.
方程
， （1）
， （2）
， （3）
是常微分方程，其中是方程中的自变量,是方程中的未知函数.
方程
， （4）
， （5）
是偏微分方程，其中是方程中的未知函数，是方程中的自变量.
微分方程中存在的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶数.
一般的阶微分方程具有的形式
. （6）
、、、、的已知函数是，而且它一定含有；是方程的自变量,是方程的未知函数.
2.2 微分方程模型
微分方程:数学联系实际问题的重要渠道之一,如图1所示为微分方程的模型构建过程.
/
图1 微分方程的模型构建
例 物体冷却过程的数学模型
将一个物品放在空气中，在时间的时候，测得其温度是℃，10分钟后再次测得这个物品温度为℃. 确定物品的时间与温度的关系, 并计算20分钟后物品保持的温度. 假设空气的温度为℃.
解 设物体在时刻的温度为, 可得
目 录
第一章 绪 论 1
1.1 研究背景 1
1.2 研究意义和目的 1
1.3 研究方法 1
第二章 相关理论概述 2
2.1 微分方程的定义 2
2.2 微分方程模型 3
第三章 微分方程的分类与化简 5
3.1 一阶齐次线性偏微分方程 5
3.2 一阶线性偏微分方程 7
3.3 一阶拟线性非齐次偏微分方程 11
3.4 两个自变量的二阶线性偏微分方程 14
3.4.1 双曲型偏微分方程 15
3.4.2 抛物型偏微分方程 17
3.4.3 椭圆型偏微分方程 18
3.5 个自变量的二阶线性偏微分方程 23
第四章 偏微分方程的简单应用 25
4.1 偏微分方程在人口学问题中的应用 25
4.2 偏微分方程在传染病动力学中的应用 25
结 论 27
致 谢 28
参考文献 29
第一章 绪 论
1.1研究背景
微分方程的形成和发展同其他科学和新技术的发展有着密切相关的，如复杂的函数 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
，李群，拓扑结构的组合.计算机的发展对微分方程的发展造成了很大的影响。随着微分方程理论逐步完善，它可以准确地表达事物变化的基本规律。随着物理、医学等学科的进一步发展和完善，微分方程相关理论在各个专业领域中的应用范围更加广泛. 微分方程理论在物理、机械和其他学科研究中占有很重要的作用，微分方程的应用不仅是传统的应用数学的主要内容之一，并且也是现代数学的重要组成部分之一。微分方程当之无愧是数学理论与实践应用之间的重要桥梁，微分方程特别是非线性微分方程和非线性偏微分方程一直非常活跃在拓展应用研究领域。
1.2研究意义和目的
在其他领域的自然科学和技术科学方面，提出了大量的微分方程的问题。因此，生产社会实践是微分方程的不竭源泉。微分方程与数学模型的关系也很密切，微分方程与数学模型是相互联系和相互促进的。随着研究的深入，一些以前可用线性微分方程解决问题，还必须考虑非线性的影响，因此针对非线性偏微分方程研究，特别是对非线性偏微分方程研究的精确解，有一个非常重要的理论价值和实践。
1.3研究方法
本文采用文献调查法、案例分析法及对比研究法对偏微分方程进行研究。本文首先阐述了微分方程的定义和微分方程模型，并深入研究了一阶齐次线性偏微分方程、一阶线性偏微分方程、一阶拟线性非齐次偏微分方程、双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、椭圆型偏微分方程、两个自变量的二阶线性偏微分方程、n个自变量的二阶线性偏微分方程，最后探讨了偏微分方程在人口问题中和传染病动力学中的实际应用。
第二章 相关理论概述
2.1 微分方程的定义
将自变量、未知函数以及它的导数关联起来的关系式叫做微分方程. 仅仅只含有一个自变量的微分方程叫做常微分方程. 自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫做偏微分方程.
方程
， （1）
， （2）
， （3）
是常微分方程，其中是方程中的自变量,是方程中的未知函数.
方程
， （4）
， （5）
是偏微分方程，其中是方程中的未知函数，是方程中的自变量.
微分方程中存在的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶数.
一般的阶微分方程具有的形式
. （6）
、、、、的已知函数是，而且它一定含有；是方程的自变量,是方程的未知函数.
2.2 微分方程模型
微分方程:数学联系实际问题的重要渠道之一,如图1所示为微分方程的模型构建过程.
/
图1 微分方程的模型构建
例 物体冷却过程的数学模型
将一个物品放在空气中，在时间的时候，测得其温度是℃，10分钟后再次测得这个物品温度为℃. 确定物品的时间与温度的关系, 并计算20分钟后物品保持的温度. 假设空气的温度为℃.
解 设物体在时刻的温度为, 可得
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