消费与税收关系的数学模型
消费与税收关系的数学模型[20191209140725]
摘 要
本文根据建模的目的，对税收与消费作出必要的、合理的简化假设。根据所做的假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，结合经济学的若干原理，建立包含若干个常量、变量的消费行为数学模型。在建立消费行为数学模型时，使用了几何图形分析法，同时也使用微积分学的相关知识，特别是在处理消费者效用最优化时使用的拉格朗日乘数法，为更加定性定量地考察讨论消费与税收关系作出了巨大贡献。
结合这次建立消费与税收的数学模型的目的与意义，首先针对消费行为进行分析，在此基础上确定必要的、合理的简化假设，然后利用数学工具建立起消费行为模型，并通过选取典型的税收，进而在已经建立起的数学模型中讨论税收对于消费行为的影响。
摘 要 I
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:数学模型消费税收最优化拉格朗日乘数法
目录
Abstract II
1.引 言 1
1.1课题目的与意义 1
1.2课题研究的基础、现状 1
1.3研究内容 2
2.消费模型的基本概念和相关结论 3
2.1 消费模型的基础 3
2.1.1消费者偏好 3
2.1.2预算约束 4
2.1.3消费者选择 5
2.2 边际效用与边际替代率 5
2.3消费者效用最大化模型 5
2.4消费者模型的推广（n个商品） 9
3.消费者比较静态模型 11
3.1间接效用函数 11
3.2.1替代效应和收入效应 11
3.2.2斯勒茨基方程 11
3.3.1禀赋基本概念 12
3.3.2修正的斯勒茨基方程 12
4.消费者福利水平 13
4.1等价变化和补偿变化 13
4.2消费者剩余 13
5.消费税与收入税 14
5.1几何分析 14
5.2代数分析 15
6.个人所得税 17
6.1劳动供给模型 17
6.2个人所得税 17
6.3个人所得税的变化 18
结 论 20
参考文献 21
致谢 22
1.引 言
1.1课题目的与意义
随着改革开放的进一步深化，社会主义市场经济的进一步完善，近年来，有关个人所得税、房产税、营改增、消费者价格指数（CPI）等等涉及消费与税收的任何风吹草动都吸引着社会大众的眼球，各种消息观点鱼龙混杂、真假难分，专家学者稂莠不齐，正确认识与人们生活日益紧密相关的税收与消费已经成为一个迫切需要和十分棘手的问题，亟待相关研究人员的“甘霖”。而建立税收与消费的数学模型是一个很好的解决办法。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术。与此同时，面对经济生活中呈现爆炸之势的数据信息，去伪存真、归纳整理、分析现象、显示结果等等，这些理所当然的需要求助于数学模型。当然通过建立税收和消费的数学模型只是解决消费与税收复杂关系的一种途径，但不可否认的是该建立数学模型的课题仍然具有它的不可代替的研究价值和积极意义。
1.2课题研究的基础、现状
对于前人来说，数学首先是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。自从法国数学家、经济学家和哲学家，数理统计学的奠基人安东尼·奥古斯丁·库尔诺1838年发表了《财富理论数学原理的研究》，并且经过40年后的英国经济学家和逻辑学家W.S.杰文斯和法国经济学家L.瓦尔拉斯的高度推崇，在经济生活研究中大量运用数学分析开始大行其道，并影响至今。
时至今日，经济学家和数学家们已经建立起有相当规模，自成一套系统的消费理论。诸如偏好、效用、预算约束、显示偏好、需求等等一系列经济学概念都已经能在数学上找到对应的概念以及工具来描述。现在消费者效用最大化原理已经被广泛接受，认为它在一定程度上刻画了人们消费的合理性。但是对于效用是否是一个数值问题仍有疑问。一些研究者主张用“偏爱”代替“效用”，偏爱只有顺序的先后，没有数值大小的区分，从数学概念上说，就是用“序数效用”代替“基数效用”，而这样一来，数学上就要重起炉灶，用到如实变函数论、拓扑学等工具了。再比如，数学中的“导数”在经济学中一般称为“边际”。
而对于消费与税收的关系，经济学家和数学家们通过研究也已经得到了若干重要结论成果。例如：（1）税收抑制了市场活动，当对一种物品征税时，该物品在新的均衡时销售量减少了。买者与卖者分摊税收负担。在新的均衡时，买者为该物品支付得多了，而卖者得到的少了。（2）对一种物品征税是在买者支付的价格和卖者得到的价格之间打入了一个楔子，当市场向新均衡变动时，买者为该物品支付的价格高了，而卖者从该物品得到的价格低了；在这种意义上说，买者与卖者分摊税收负担。税收归宿并不取决于是向买者征税，还是向卖者征税。（3）税收归宿取决于供给和需求的价格弹性。税收负担倾向于落在缺乏弹性的市场一方，因为市场的这一方难以通过改变购买或销售量来对税收作出反应。一种物品的税收减少了该物品买者与卖者的福利，而且，消费者和生产者剩余的减少通常超过了政府增加的收入。总剩余——消费者剩余、生产者剩余和税收收入之和——的减少被称为税收的无谓损失（有关内容可参见文献[1]-[2]）。
1.3研究内容
首先，由于现实的经济生活中的税收种类繁多，本课题将挑选若干个比较有代表性的税收从而来考察其与消费的关系。在这基础上，了解消费与税收关系这个课题的相关实际背景及内容，搜集必要的信息及数据，尽量弄清研究对象消费与税收的主要特征。其次，根据建模的目的，对税收与消费作出必要的、合理的简化假设。根据所做的假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，结合经济学的若干原理，建立包含若干个常量、变量的消费与税收关系的数学模型。通过利用解方程、画图形、优化方法等各种方法，进行对所建消费与税收关系的模型的求解。对求解结果进行数学上的分析。最终把求解和分析的结果翻译到经济学上，寻求一种可能的经济学解释，并与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。
总之，本文将立足于对税收与消费作出必要的、合理的简化假设，建立起描述消费行为的数学模型，再结合若干类型税收考察税收对消费的影响（有关内容可参见文献[5]）。
2.消费模型的基本概念和相关结论
2.1 消费模型的基础
2.1.1消费者偏好
我们把消费者选择的目标称为消费束。消费束是指一种或者多种商品的一个组合。一般的说，术语市场篮子与消费束表达同样的含义。注意，在本篇文章处理相关问题时，我们将只讨论两种商品，令其中的一种商品代表“其他一切商品”。在这样的处理方法之上，我们就可以研究包括许多商品在内的消费消费选择，并且可以用二维图解来说明问题。
所以，假设消费束由两种商品组成，令 代表一种商品的数量， 代表另一种商品的数量。则整个消费束就可以用 来表示。
首先建立起有关消费者偏好的一些基本假设：
（1）完备性。即假定任何两个消费束都是可以比较的。也就是说，任意两个消费束对于消费者而言，要么其中一个消费束比另一个要好，或者这两个消费束对于他而言是无差异的。即对于两个消费束 ， ，要么 ，要么 ，要么 。
（2）传递性。假如消费者认为消费束 至少与 一样好， 至少与 一样好，那么消费者就认为 至少和 一样好。即假如 ，并且 ，则 。
（3）单调性。一般假设，就商品不是厌恶品总是令人愉快的，消费者总是认为多多益善。
其次建立起描述消费者偏好的工具：
（1）无差异曲线。在 的二维图上，对于连接能带给消费者自身相同满足程度的所有消费束的曲线，称为无差异曲线。无差异曲线的斜率就是边际替代率（MRS）， 。可以解释为消费者为获得更多的商品1而愿意放弃的商品2的数量。（横轴衡量商品1）针对大量的日常观察，我们假设无差异曲线是凸的。即边际替代率（MRS）递减。
（2）效用函数。通过赋予与每条无差异曲线相对应的数值来描述消费者偏好，该数值就称为效用。因此，效用函数是为每个可能的消费束指派一个数字的方法，它指派给较多偏好的消费束的数字大于指派给较少偏好的消费束的数字。值得注意的是，效用函数仅仅是一种表示或概括偏好排列次序的方法。效用水平的数值并不存在实质性的含义。
当消费者购得数量分别为 ， 的甲乙两种商品时，给消费者带来的效用可以用一个数值来度量，它是 ， 的函数，记作 ，称为效用函数。为了用效用函数讨论消费者的选择，利用等高线的概念在 ， 的平面上画出效用函数 的等值线，称为等效用线，也即上文所说的无差异曲线。如图1。由上文所述的假设条件，易知等效用线 = 是一族单调减、下凸、互不相交的曲线。即 = 必须满足的充分条件： >0 ， >0 ， <0 ， <0 ， 。
图1 等效用线图
定义边际效用度量从消费额外一单位的商品中所获得的额外的满足。简单的来说，在经济学领域当中，“边际”就是数学中的“导数”。因此，商品甲的边际效用就是
。
注意，该处的定义使用了偏导数，因为商品甲的边际效用是在商品乙的数量保持不变的假设下进行计算的。同理有商品乙的边际效用
。
2.1.2预算约束
显而易见的是，消费者因为收入有限而面临预算约束。假设我们可以知道两种商品的价格 和消费者想要花费的货币总数 ，则消费者的预算约束可以写为 。当实际所消费的货币数与消费者想要花费的货币数恰好相等时，即 ，在 的二维图上的这条直线就称之为预算线。
2.1.3消费者选择
我们假设消费者的选择总是理性的。即在既定的、有限的预算下，消费者总是选择他们所能负担之下的最佳商品组合，或者说是消费者总是选择能使他们获得的满足最大化的商品组合。
2.2 边际效用与边际替代率
考察在当沿着无差异曲线移动时，消费者的效用 保持不变下的边际替代率与边际效用关系。首先采用微分的方法；对于无差异曲线移动时每种商品的消费的变化 ，则有 ，即 。对上式求解 ，解得 。
其次应用隐函数的方法。将无差异曲线看作是由函数 表示。也就是说，对于每个 的值，函数 都能告诉我们，为了留在那条特定的无差异曲线上，需要的 是多少。因此， 必须满足等式 ，式中的 是所讨论的无差异曲线的效用标号。对于这个恒等式两边关于 求微分，可以得到 。对上式求解 = 。更进一步地，假设我们对一个效用函数作单调变换，比如 。根据链式法则，可以得到该效用函数的边际替代率（ ），
即表明边际替代率与效用的表示方法无关。综上所述， 。
2.3消费者效用最大化模型
设甲乙两种商品的单价分别为 、 ，消费者的预算约束为 ，则消费者购得的甲乙两种商品数量 、 满足 。所谓的效用最大化，就是寻找合适的 满足 ，其约束条件为 。
2.3.1先从几何上分析、求解该模型
如图2。约束条件 在 ， 的平面上是一条直线，不妨称为消费线。如图中的AB。根据等效用线 具有单调减、下凸、互不相交的性质，直线AB必与一条等效用线相切，记切点为 ，不妨称为消费点，当购买甲乙两种商品的数量为 ， 时的效用函数达到最大。这是因为在AB与其他等效用线的交点，其效用值小于Q点的 ，且Q点唯一。并有消费线的斜率恰好等于无差异曲线的斜率，即 。
图2 效用最大化模型的几何解法
2.3.2采用最大化的微积分条件。
对于约束最大化问题： 使得 。
简单地从约束条件中求得用一个变量表示另一个变量，然后代入目标函数。由预算约束条件的整理有 。将 替代效用函数的 ，得到非约束最大化问题 。一般的，只要对 求微分并令其结果等于零就可以求解这一关于 的非约束最大化问题。对 的一阶微分有 .
对 求微分，得 。 ，代入有
。
这恰好表示 和 之间的边际替代率必定等于在最优选择 点上的价格比率。这就是我们已经得到的最优选择条件：无差异曲线的斜率必须等于预算线的斜率。当然，最优选择也必须满足预算约束条件 ，这就又包含了含两个未知数的两个方程。
含两个未知数的两个方程的解法：首先注意到消费者的消费最优选择 必须满足 ，然后由之前的边际替代率与边际效用关系：边际替代率可以表示为效用函数的导数之比的相反数。故边际效用替代边际替代率并消去负号，可以有
， （1）
又有消费的预算约束
. （2）
摘 要
本文根据建模的目的，对税收与消费作出必要的、合理的简化假设。根据所做的假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，结合经济学的若干原理，建立包含若干个常量、变量的消费行为数学模型。在建立消费行为数学模型时，使用了几何图形分析法，同时也使用微积分学的相关知识，特别是在处理消费者效用最优化时使用的拉格朗日乘数法，为更加定性定量地考察讨论消费与税收关系作出了巨大贡献。
结合这次建立消费与税收的数学模型的目的与意义，首先针对消费行为进行分析，在此基础上确定必要的、合理的简化假设，然后利用数学工具建立起消费行为模型，并通过选取典型的税收，进而在已经建立起的数学模型中讨论税收对于消费行为的影响。
摘 要 I
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:数学模型消费税收最优化拉格朗日乘数法
目录
Abstract II
1.引 言 1
1.1课题目的与意义 1
1.2课题研究的基础、现状 1
1.3研究内容 2
2.消费模型的基本概念和相关结论 3
2.1 消费模型的基础 3
2.1.1消费者偏好 3
2.1.2预算约束 4
2.1.3消费者选择 5
2.2 边际效用与边际替代率 5
2.3消费者效用最大化模型 5
2.4消费者模型的推广（n个商品） 9
3.消费者比较静态模型 11
3.1间接效用函数 11
3.2.1替代效应和收入效应 11
3.2.2斯勒茨基方程 11
3.3.1禀赋基本概念 12
3.3.2修正的斯勒茨基方程 12
4.消费者福利水平 13
4.1等价变化和补偿变化 13
4.2消费者剩余 13
5.消费税与收入税 14
5.1几何分析 14
5.2代数分析 15
6.个人所得税 17
6.1劳动供给模型 17
6.2个人所得税 17
6.3个人所得税的变化 18
结 论 20
参考文献 21
致谢 22
1.引 言
1.1课题目的与意义
随着改革开放的进一步深化，社会主义市场经济的进一步完善，近年来，有关个人所得税、房产税、营改增、消费者价格指数（CPI）等等涉及消费与税收的任何风吹草动都吸引着社会大众的眼球，各种消息观点鱼龙混杂、真假难分，专家学者稂莠不齐，正确认识与人们生活日益紧密相关的税收与消费已经成为一个迫切需要和十分棘手的问题，亟待相关研究人员的“甘霖”。而建立税收与消费的数学模型是一个很好的解决办法。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术。与此同时，面对经济生活中呈现爆炸之势的数据信息，去伪存真、归纳整理、分析现象、显示结果等等，这些理所当然的需要求助于数学模型。当然通过建立税收和消费的数学模型只是解决消费与税收复杂关系的一种途径，但不可否认的是该建立数学模型的课题仍然具有它的不可代替的研究价值和积极意义。
1.2课题研究的基础、现状
对于前人来说，数学首先是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。自从法国数学家、经济学家和哲学家，数理统计学的奠基人安东尼·奥古斯丁·库尔诺1838年发表了《财富理论数学原理的研究》，并且经过40年后的英国经济学家和逻辑学家W.S.杰文斯和法国经济学家L.瓦尔拉斯的高度推崇，在经济生活研究中大量运用数学分析开始大行其道，并影响至今。
时至今日，经济学家和数学家们已经建立起有相当规模，自成一套系统的消费理论。诸如偏好、效用、预算约束、显示偏好、需求等等一系列经济学概念都已经能在数学上找到对应的概念以及工具来描述。现在消费者效用最大化原理已经被广泛接受，认为它在一定程度上刻画了人们消费的合理性。但是对于效用是否是一个数值问题仍有疑问。一些研究者主张用“偏爱”代替“效用”，偏爱只有顺序的先后，没有数值大小的区分，从数学概念上说，就是用“序数效用”代替“基数效用”，而这样一来，数学上就要重起炉灶，用到如实变函数论、拓扑学等工具了。再比如，数学中的“导数”在经济学中一般称为“边际”。
而对于消费与税收的关系，经济学家和数学家们通过研究也已经得到了若干重要结论成果。例如：（1）税收抑制了市场活动，当对一种物品征税时，该物品在新的均衡时销售量减少了。买者与卖者分摊税收负担。在新的均衡时，买者为该物品支付得多了，而卖者得到的少了。（2）对一种物品征税是在买者支付的价格和卖者得到的价格之间打入了一个楔子，当市场向新均衡变动时，买者为该物品支付的价格高了，而卖者从该物品得到的价格低了；在这种意义上说，买者与卖者分摊税收负担。税收归宿并不取决于是向买者征税，还是向卖者征税。（3）税收归宿取决于供给和需求的价格弹性。税收负担倾向于落在缺乏弹性的市场一方，因为市场的这一方难以通过改变购买或销售量来对税收作出反应。一种物品的税收减少了该物品买者与卖者的福利，而且，消费者和生产者剩余的减少通常超过了政府增加的收入。总剩余——消费者剩余、生产者剩余和税收收入之和——的减少被称为税收的无谓损失（有关内容可参见文献[1]-[2]）。
1.3研究内容
首先，由于现实的经济生活中的税收种类繁多，本课题将挑选若干个比较有代表性的税收从而来考察其与消费的关系。在这基础上，了解消费与税收关系这个课题的相关实际背景及内容，搜集必要的信息及数据，尽量弄清研究对象消费与税收的主要特征。其次，根据建模的目的，对税收与消费作出必要的、合理的简化假设。根据所做的假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，结合经济学的若干原理，建立包含若干个常量、变量的消费与税收关系的数学模型。通过利用解方程、画图形、优化方法等各种方法，进行对所建消费与税收关系的模型的求解。对求解结果进行数学上的分析。最终把求解和分析的结果翻译到经济学上，寻求一种可能的经济学解释，并与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。
总之，本文将立足于对税收与消费作出必要的、合理的简化假设，建立起描述消费行为的数学模型，再结合若干类型税收考察税收对消费的影响（有关内容可参见文献[5]）。
2.消费模型的基本概念和相关结论
2.1 消费模型的基础
2.1.1消费者偏好
我们把消费者选择的目标称为消费束。消费束是指一种或者多种商品的一个组合。一般的说，术语市场篮子与消费束表达同样的含义。注意，在本篇文章处理相关问题时，我们将只讨论两种商品，令其中的一种商品代表“其他一切商品”。在这样的处理方法之上，我们就可以研究包括许多商品在内的消费消费选择，并且可以用二维图解来说明问题。
所以，假设消费束由两种商品组成，令 代表一种商品的数量， 代表另一种商品的数量。则整个消费束就可以用 来表示。
首先建立起有关消费者偏好的一些基本假设：
（1）完备性。即假定任何两个消费束都是可以比较的。也就是说，任意两个消费束对于消费者而言，要么其中一个消费束比另一个要好，或者这两个消费束对于他而言是无差异的。即对于两个消费束 ， ，要么 ，要么 ，要么 。
（2）传递性。假如消费者认为消费束 至少与 一样好， 至少与 一样好，那么消费者就认为 至少和 一样好。即假如 ，并且 ，则 。
（3）单调性。一般假设，就商品不是厌恶品总是令人愉快的，消费者总是认为多多益善。
其次建立起描述消费者偏好的工具：
（1）无差异曲线。在 的二维图上，对于连接能带给消费者自身相同满足程度的所有消费束的曲线，称为无差异曲线。无差异曲线的斜率就是边际替代率（MRS）， 。可以解释为消费者为获得更多的商品1而愿意放弃的商品2的数量。（横轴衡量商品1）针对大量的日常观察，我们假设无差异曲线是凸的。即边际替代率（MRS）递减。
（2）效用函数。通过赋予与每条无差异曲线相对应的数值来描述消费者偏好，该数值就称为效用。因此，效用函数是为每个可能的消费束指派一个数字的方法，它指派给较多偏好的消费束的数字大于指派给较少偏好的消费束的数字。值得注意的是，效用函数仅仅是一种表示或概括偏好排列次序的方法。效用水平的数值并不存在实质性的含义。
当消费者购得数量分别为 ， 的甲乙两种商品时，给消费者带来的效用可以用一个数值来度量，它是 ， 的函数，记作 ，称为效用函数。为了用效用函数讨论消费者的选择，利用等高线的概念在 ， 的平面上画出效用函数 的等值线，称为等效用线，也即上文所说的无差异曲线。如图1。由上文所述的假设条件，易知等效用线 = 是一族单调减、下凸、互不相交的曲线。即 = 必须满足的充分条件： >0 ， >0 ， <0 ， <0 ， 。
图1 等效用线图
定义边际效用度量从消费额外一单位的商品中所获得的额外的满足。简单的来说，在经济学领域当中，“边际”就是数学中的“导数”。因此，商品甲的边际效用就是
。
注意，该处的定义使用了偏导数，因为商品甲的边际效用是在商品乙的数量保持不变的假设下进行计算的。同理有商品乙的边际效用
。
2.1.2预算约束
显而易见的是，消费者因为收入有限而面临预算约束。假设我们可以知道两种商品的价格 和消费者想要花费的货币总数 ，则消费者的预算约束可以写为 。当实际所消费的货币数与消费者想要花费的货币数恰好相等时，即 ，在 的二维图上的这条直线就称之为预算线。
2.1.3消费者选择
我们假设消费者的选择总是理性的。即在既定的、有限的预算下，消费者总是选择他们所能负担之下的最佳商品组合，或者说是消费者总是选择能使他们获得的满足最大化的商品组合。
2.2 边际效用与边际替代率
考察在当沿着无差异曲线移动时，消费者的效用 保持不变下的边际替代率与边际效用关系。首先采用微分的方法；对于无差异曲线移动时每种商品的消费的变化 ，则有 ，即 。对上式求解 ，解得 。
其次应用隐函数的方法。将无差异曲线看作是由函数 表示。也就是说，对于每个 的值，函数 都能告诉我们，为了留在那条特定的无差异曲线上，需要的 是多少。因此， 必须满足等式 ，式中的 是所讨论的无差异曲线的效用标号。对于这个恒等式两边关于 求微分，可以得到 。对上式求解 = 。更进一步地，假设我们对一个效用函数作单调变换，比如 。根据链式法则，可以得到该效用函数的边际替代率（ ），
即表明边际替代率与效用的表示方法无关。综上所述， 。
2.3消费者效用最大化模型
设甲乙两种商品的单价分别为 、 ，消费者的预算约束为 ，则消费者购得的甲乙两种商品数量 、 满足 。所谓的效用最大化，就是寻找合适的 满足 ，其约束条件为 。
2.3.1先从几何上分析、求解该模型
如图2。约束条件 在 ， 的平面上是一条直线，不妨称为消费线。如图中的AB。根据等效用线 具有单调减、下凸、互不相交的性质，直线AB必与一条等效用线相切，记切点为 ，不妨称为消费点，当购买甲乙两种商品的数量为 ， 时的效用函数达到最大。这是因为在AB与其他等效用线的交点，其效用值小于Q点的 ，且Q点唯一。并有消费线的斜率恰好等于无差异曲线的斜率，即 。
图2 效用最大化模型的几何解法
2.3.2采用最大化的微积分条件。
对于约束最大化问题： 使得 。
简单地从约束条件中求得用一个变量表示另一个变量，然后代入目标函数。由预算约束条件的整理有 。将 替代效用函数的 ，得到非约束最大化问题 。一般的，只要对 求微分并令其结果等于零就可以求解这一关于 的非约束最大化问题。对 的一阶微分有 .
对 求微分，得 。 ，代入有
。
这恰好表示 和 之间的边际替代率必定等于在最优选择 点上的价格比率。这就是我们已经得到的最优选择条件：无差异曲线的斜率必须等于预算线的斜率。当然，最优选择也必须满足预算约束条件 ，这就又包含了含两个未知数的两个方程。
含两个未知数的两个方程的解法：首先注意到消费者的消费最优选择 必须满足 ，然后由之前的边际替代率与边际效用关系：边际替代率可以表示为效用函数的导数之比的相反数。故边际效用替代边际替代率并消去负号，可以有
， （1）
又有消费的预算约束
. （2）
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