三次样条函数的拟合公路平面线形误差分析
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III次样条函数的拟合公路平面线形误差分析
张航,黄云,刘福成,陈晓芳
(I..交通运输工程,武汉理工大学,湖北,武汉IVIII00VIIII
II.X堰市公路局,湖北IVIVII000
III.珠山县,X堰省公路局,湖北IVIVIIII00)
huangyunII0I.0@tom.com
摘要:为了满足交通量增长的需求,保证道路操作安全,在国家投资工程建设的前期,需对高等级公路和部分地方道路进行了扩建,而这则需要知道道路设计的原理和实践中会用到的I.些参数.但在具体实施过程中,事实却并不是这样的.往往由于缺乏了解道路设计原理和完整的信息,包括路基沉降和路基变形,边坡的变形坍塌,路面破损情况,桥头跳车情况等,导致扩建工程从最初的实际公路线形设计就与原道路存在了很大的差异.因此,在重建和延伸过程中,测量及拟合对齐参数是非常必要.通过这样才能满足原设计要求.而其精度则将直接影响道路流畅对齐度,舒适的驾乘环境以及驾驶员的操作.本文在运用III次样条函数,分析误差的来源和讨论计算结果影响步骤的基础上,提出了拟合公路平面线形的基本原则.本文结合I.个实际工程,摸索出了不同采样步长拟合结果错误的影响,还有III次样条函数拟合公路平面线形得出的I.个适当的采样步骤范围.也就是说,为了使误差最小化,当测量时,在直线段选择V0米,曲线段选择II0m当做采样步长值是合适的.
关键字:公路平面线形;III次样条函数;拟合;错误;分析
0引言
在建设和管理的初期,由于缺乏公路设计的标准,会导致相关信息的丢失.尤其在建设方面,不严格的控制,劣质的材料和不合格的工程质量都在之后给公路带来了操作上的窘迫情况,比如边坡坍塌,路基沉降,路面损坏和桥头跳车等,这也导致了实际的公路线形与原设计存在很大的差异.在公路扩建工程中,充 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
分利用原设计参数显然是不可能.因此,为了获得准确的最新信息,尤其是公路平面线形参数,在重建和扩建项目建设工程中建立数据库公路系统是极为重要的.
收集公路平面线形拟合数据所用的装置通常采用的是全智能仪表或位于道路中线离散点的GPS.正在申请的III次样条曲线值,其中的I.个值的计算方法已经确定了.这就是曲率,它可以帮助判断点线的单位区别.结合第I..第II的III次样条曲线微分系数和其边界条件,分析上面行元素的特性,每部分的I.些参数就可以获得了.在整个过程中我们可以看出,数据采集方法是可操作的,理论也是严密可靠的.但是,很明显会有错误的拟合结果存在于测量坐标和重建公路数字模型中.这错误包括道路建设误差,测量误差和拟合误差.前两个已达成时,拟合误差对获得准确的线性参数就有很大的影响.I.个实际的工程显示了在某些拟合跨度方法上拟合误差主要是由于拟合步长范围.更合适的拟合点跨度才会有更精确的拟合参数.
I.公路平面线形设计理论
I..I.III次样条曲线
分段函数S(x)符合以下条件时为III次样条曲线:
①S(x)在[a,b]间有连续的I.阶和II阶导数;
②在每个[xi-I.,xi]区间内,S(x)总是III次多项式;
③S(xi)=yi(i=0,I.,……,n)表明该公式是代表曲线上所有点.因此,在[xi-I.,xi]之间的数满足以下条件:
S(xi-I.)=yi-I.,S(xi)=yi(I.)
S’(xi-I.)=Mi-I.,S’(xi)=Mi(II)
根据拉格朗日中值定理,然后可得
S’(xi)=(III)
当hi=xi-xi-I.时,将公式(III)代入公式(I.)和(II),则可以得到如下公式:
S(x)=(IV)
公式(IV)也可以由下列表达:
(V)
该曲线在i节点是连续的,也就是说,在[xi-I.,xi]的左区间插入i和在[xi-I.,xi]的右区间插入i是等价的,由此:
(VI)
即:
,i=I.,II,……,n-I.(VII)
其中:
=,=,i=I.,II,……,n-I.(VIII)
我们可以从公式(VII)中求得的参数,然后将它代入公式(IV).这样III次样条函数值就确定了.
I..II平面线形要素的确定
道路曲线参数包括半径曲率R,缓和曲线Ls和缓和曲线参数A等.利用I.阶.II阶微分方程和曲线的曲率之间的关系,计算子III次样条函数差,最终我们可以求得曲线参数.图I.和图II可以用来描述平曲线的组成基本单元和相应的变化曲率.ZH,HY,QZ,YH,HZ是V个主要的参数.
图I..平曲线
图II.路线曲率
在确定平曲线要素时,关键是要确定平曲线主点的位置,即以固定的线性单位,如直线,圆曲线等,通过变化曲线和缓和曲线确定曲率.计算曲率可由公式(IX)计算.
曲率:ρ(或)=(IX)
表I..拟合曲线结果
桩号半径/m长度/m缓和参数比较半径值
I.(ZH)VIIIIIIIVIV.0VIII0
IIVIIVIX.0IIIII0I.IIIII.III.0VIIVI0
IIIIIIVIIIX.IIVIIIV0I.IIIII.I.VIIIIIVIII0
IV( *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
HY)IIIVIX.III0VI0.VIIIIIIVI.IIIII.0VIIV0
VIIV0.00VIII0IIV0
VIIIIVIX.VIIIIVI.00IIV0
表II.比较拟合误差
位置原坐标拟合曲线误差△y=y拟合值-y原值
步长II0m步长IV0m步长VI0m步长VIII0m步长I.00m
xy△y△y△y△y
K0+VIIIII0I.I.IIV.I.VIIIVVI0VII.VIIIVI.-0.0I.0-0.0I.IV-0.0I.I.-0.0VIII.
K0+VIIIIV0I.I.IVIV.0VIIIIVI0I..IIVIIIII0.000-0.0I.IV0.0I.V-0.I.0I.
K0+VIIIVI0I.I.VIII.VIIXVIIVIXIV.0III.0.00V0.0I.0-0.00VIII-0.0VIIIIII
K0+VIIIVIII0I.I.VIIII..0VIIIIIIVVIIIVI.I.VII0.0000.0I.II-0.0I.IV-0.0IV0
K0+IXVIII0I.IIVIIX.IXVIII0VIV0.IVIIIVIII-0.00III-0.0I.00.00VIII-0.0IVVIII
KI.+000I.III0IV.VIIXIIIVII0.VVIIII0.00II0.0I.00.0I.V0.0IIVII
KI.+0II0I.IIIIIII.0I.IVVI.0.VVIIII0.0000.0I.III0.0I.VII0.0IIIVIII
注意:斜体的数字表示关键点,加粗的表示显示最大错误值
规范规定最大的圆曲线半径不能超过I.0000m,这代表当某I.线曲率≤0.000I.时,可以把它当作是直线.所以,直线和曲线误差范围ε=0.000I..当采样点的曲率在ρ=0±ε之间时,样点就在直线上.当ρ=C±ε(C=I./R是常数)时,且ρ值在这两者之间变化,样点就在缓和曲线上.
II拟合误差分析
II.I.基本情况
自从I.IXIX0年在I.个小镇开放高速公路出口后,小镇的交通量就I.直在快速增长.据预测,II0I.II年小镇平均日交通量将达到II0,IVIVVII辆,而到II0II0年将达到每天IIIIII,VVIIIVIII辆.根据IV车道交通量标准来看,未来的高速公路将难以负担如此庞大且快速增长的交通量.在高峰时段高速公路的服务水平会有显著降低,同时拥堵也是I.个严重的问题,而且道路会有大幅度的沉降和破碎.从社会方面考虑,运输业的扩大和社会的发展,也使扩大道路出口势在必行.由于道路已建成多年,没有电子信息,也没有完整的设计图纸,这给道路扩建带来了很大困难.经过研究,利用所有智能仪表极坐标法获得的道路中心线III次样条函数和边界条件拟合参数,可以为重建项目提供技术支持.表I.显示了曲线拟合的结果.
II.II采样点步长跨度的分析
现在,我们将采样点步长间距分为I.00m,VI0m,V0m及IV0m来分析错误的曲线结构.由于拟合曲线与原线之间存在着有不同,我们将在全长中根据相同的x计算坐标比较y坐标的边缘.当x坐标给出后,可以利用公式(IV)通过y坐标得到的非嵌合步长值.然后研究了不同的采样步骤是如何影响III次样条的拟合误差的.
根据表II我们可以看出,最大的误差点靠近主点,而线误差小的和较大的误差点都在曲线上.统计全长路线拟合误差列于表III.
表III不同采样步长的全长路线拟合误差统计
拟合间距(m)最小误差(m)平均误差(m)错误波动范围△y≠0全部的点△y≠0配给点
IV00.0I.0-0.000VIcmIII.IIIIV.IVIII
V00.0IIVI-0.000VcmIIIIIIVIV.I.0
VI00.0IVIV-0.000IVcmIIVIIIVIV.IIVI
I.000.I.VII-0.00IXVIIcmIVVIVIIV.IVI.
III结论
I.)在主点附近的更多误差
道路平面线形是由III个基本要素组成,包括直线,缓和曲线和圆曲线.当利用III次样条函数进行曲线拟合时,随着半径逐渐减小,曲线的形式也从I.次多项式变为III次.两次多项式.主点由不同线形中的步长决定,在用同I.个公式描述III个不同特点线性时会出现错误.因此,主点拟合误差是最大的.
II)密集的拟合点步长有利于促进III次样条曲线拟合精度
随着减少拟合点的跨度(从I.00米降为IV0m),误差从0.I.0I.米降低到了0.0I.0米.也就是说,选定的采样点跨度密度越大,III次样条曲线拟合精度更加准确.
III)在该行采样点的跨度应该较大而曲线应该较小.但减少的步骤是势必会增加节点的数量,同时测量和工作强度也增加了,导致效率降低.因此,不同的配件步长跨度应按照在实际工程中线性的特性而取.为了保持曲线拟合精度和工作强度之间的平衡,拟合步长的密度曲线可取小点(例如选择II0米为I.步),而在直线上则可以适当放宽,如V0米.
IV)为了保证数据的准确性,提高了拟合的精度,采样点可以通过使用CAD样条曲线绘制,检查拟合过程中是否有错误.同时我们可以在曲线的特征上初步确定曲线主点和两个特征点的拟合区间.
参考文献
[I.]郑善文.逆向工程中的曲线和曲面拟合研究[D].南京:东南大学,II00IV
[II]刘晓峰.GPS定位技术在公路控制测量的应用[D].大连:大连科学与技术理工大学,II00II
[III]王能超.数值分析简明教程[M].高等教育出版社,II00I.:VII-VVII
[IV]徐世亮.数值分析与算法[M].北京:机械工业出版社,II00III:I.IIII.-I.IXII[V]
[V]张玉华.公路勘察设计[M].北京:人民交通出版社,II00II
[VI]缪坤,詹振燕.直线约束的道路线形设计通用方法[J].中国公路学报,II00II.I.V(III):IIVI-IIVIII
[VII]姚连斌,刘春.样条函数与稳健符合线性识别中的应用[J].同济大学学报(自然科学版),II00IV.IIIII(VII):IXIVIII-IXIVVI
[VIII]紫建明,陈宏志,孙桂清.改扩建道路工程线型拟合设计[J].中国市政工程,II00III(II):I.-V
[IX]童晓华,刘大杰.道路曲线数字化数据的联合平差模型[J].武汉大学测绘与信息科学董事会,II00I..IIVI(I.):VIIV-VIVIII
[I.0]林志鑫,皇甫贵,周景亮.III次样条函数的采样点分布方法研究[J].福建工程学报,II00V.III(III):III.II-III.V
III次样条函数的拟合公路平面线形误差分析
张航,黄云,刘福成,陈晓芳
(I..交通运输工程,武汉理工大学,湖北,武汉IVIII00VIIII
II.X堰市公路局,湖北IVIVII000
III.珠山县,X堰省公路局,湖北IVIVIIII00)
huangyunII0I.0@tom.com
摘要:为了满足交通量增长的需求,保证道路操作安全,在国家投资工程建设的前期,需对高等级公路和部分地方道路进行了扩建,而这则需要知道道路设计的原理和实践中会用到的I.些参数.但在具体实施过程中,事实却并不是这样的.往往由于缺乏了解道路设计原理和完整的信息,包括路基沉降和路基变形,边坡的变形坍塌,路面破损情况,桥头跳车情况等,导致扩建工程从最初的实际公路线形设计就与原道路存在了很大的差异.因此,在重建和延伸过程中,测量及拟合对齐参数是非常必要.通过这样才能满足原设计要求.而其精度则将直接影响道路流畅对齐度,舒适的驾乘环境以及驾驶员的操作.本文在运用III次样条函数,分析误差的来源和讨论计算结果影响步骤的基础上,提出了拟合公路平面线形的基本原则.本文结合I.个实际工程,摸索出了不同采样步长拟合结果错误的影响,还有III次样条函数拟合公路平面线形得出的I.个适当的采样步骤范围.也就是说,为了使误差最小化,当测量时,在直线段选择V0米,曲线段选择II0m当做采样步长值是合适的.
关键字:公路平面线形;III次样条函数;拟合;错误;分析
0引言
在建设和管理的初期,由于缺乏公路设计的标准,会导致相关信息的丢失.尤其在建设方面,不严格的控制,劣质的材料和不合格的工程质量都在之后给公路带来了操作上的窘迫情况,比如边坡坍塌,路基沉降,路面损坏和桥头跳车等,这也导致了实际的公路线形与原设计存在很大的差异.在公路扩建工程中,充 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
分利用原设计参数显然是不可能.因此,为了获得准确的最新信息,尤其是公路平面线形参数,在重建和扩建项目建设工程中建立数据库公路系统是极为重要的.
收集公路平面线形拟合数据所用的装置通常采用的是全智能仪表或位于道路中线离散点的GPS.正在申请的III次样条曲线值,其中的I.个值的计算方法已经确定了.这就是曲率,它可以帮助判断点线的单位区别.结合第I..第II的III次样条曲线微分系数和其边界条件,分析上面行元素的特性,每部分的I.些参数就可以获得了.在整个过程中我们可以看出,数据采集方法是可操作的,理论也是严密可靠的.但是,很明显会有错误的拟合结果存在于测量坐标和重建公路数字模型中.这错误包括道路建设误差,测量误差和拟合误差.前两个已达成时,拟合误差对获得准确的线性参数就有很大的影响.I.个实际的工程显示了在某些拟合跨度方法上拟合误差主要是由于拟合步长范围.更合适的拟合点跨度才会有更精确的拟合参数.
I.公路平面线形设计理论
I..I.III次样条曲线
分段函数S(x)符合以下条件时为III次样条曲线:
①S(x)在[a,b]间有连续的I.阶和II阶导数;
②在每个[xi-I.,xi]区间内,S(x)总是III次多项式;
③S(xi)=yi(i=0,I.,……,n)表明该公式是代表曲线上所有点.因此,在[xi-I.,xi]之间的数满足以下条件:
S(xi-I.)=yi-I.,S(xi)=yi(I.)
S’(xi-I.)=Mi-I.,S’(xi)=Mi(II)
根据拉格朗日中值定理,然后可得
S’(xi)=(III)
当hi=xi-xi-I.时,将公式(III)代入公式(I.)和(II),则可以得到如下公式:
S(x)=(IV)
公式(IV)也可以由下列表达:
(V)
该曲线在i节点是连续的,也就是说,在[xi-I.,xi]的左区间插入i和在[xi-I.,xi]的右区间插入i是等价的,由此:
(VI)
即:
,i=I.,II,……,n-I.(VII)
其中:
=,=,i=I.,II,……,n-I.(VIII)
我们可以从公式(VII)中求得的参数,然后将它代入公式(IV).这样III次样条函数值就确定了.
I..II平面线形要素的确定
道路曲线参数包括半径曲率R,缓和曲线Ls和缓和曲线参数A等.利用I.阶.II阶微分方程和曲线的曲率之间的关系,计算子III次样条函数差,最终我们可以求得曲线参数.图I.和图II可以用来描述平曲线的组成基本单元和相应的变化曲率.ZH,HY,QZ,YH,HZ是V个主要的参数.
图I..平曲线
图II.路线曲率
在确定平曲线要素时,关键是要确定平曲线主点的位置,即以固定的线性单位,如直线,圆曲线等,通过变化曲线和缓和曲线确定曲率.计算曲率可由公式(IX)计算.
曲率:ρ(或)=(IX)
表I..拟合曲线结果
桩号半径/m长度/m缓和参数比较半径值
I.(ZH)VIIIIIIIVIV.0VIII0
IIVIIVIX.0IIIII0I.IIIII.III.0VIIVI0
IIIIIIVIIIX.IIVIIIV0I.IIIII.I.VIIIIIVIII0
IV( *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
HY)IIIVIX.III0VI0.VIIIIIIVI.IIIII.0VIIV0
VIIV0.00VIII0IIV0
VIIIIVIX.VIIIIVI.00IIV0
表II.比较拟合误差
位置原坐标拟合曲线误差△y=y拟合值-y原值
步长II0m步长IV0m步长VI0m步长VIII0m步长I.00m
xy△y△y△y△y
K0+VIIIII0I.I.IIV.I.VIIIVVI0VII.VIIIVI.-0.0I.0-0.0I.IV-0.0I.I.-0.0VIII.
K0+VIIIIV0I.I.IVIV.0VIIIIVI0I..IIVIIIII0.000-0.0I.IV0.0I.V-0.I.0I.
K0+VIIIVI0I.I.VIII.VIIXVIIVIXIV.0III.0.00V0.0I.0-0.00VIII-0.0VIIIIII
K0+VIIIVIII0I.I.VIIII..0VIIIIIIVVIIIVI.I.VII0.0000.0I.II-0.0I.IV-0.0IV0
K0+IXVIII0I.IIVIIX.IXVIII0VIV0.IVIIIVIII-0.00III-0.0I.00.00VIII-0.0IVVIII
KI.+000I.III0IV.VIIXIIIVII0.VVIIII0.00II0.0I.00.0I.V0.0IIVII
KI.+0II0I.IIIIIII.0I.IVVI.0.VVIIII0.0000.0I.III0.0I.VII0.0IIIVIII
注意:斜体的数字表示关键点,加粗的表示显示最大错误值
规范规定最大的圆曲线半径不能超过I.0000m,这代表当某I.线曲率≤0.000I.时,可以把它当作是直线.所以,直线和曲线误差范围ε=0.000I..当采样点的曲率在ρ=0±ε之间时,样点就在直线上.当ρ=C±ε(C=I./R是常数)时,且ρ值在这两者之间变化,样点就在缓和曲线上.
II拟合误差分析
II.I.基本情况
自从I.IXIX0年在I.个小镇开放高速公路出口后,小镇的交通量就I.直在快速增长.据预测,II0I.II年小镇平均日交通量将达到II0,IVIVVII辆,而到II0II0年将达到每天IIIIII,VVIIIVIII辆.根据IV车道交通量标准来看,未来的高速公路将难以负担如此庞大且快速增长的交通量.在高峰时段高速公路的服务水平会有显著降低,同时拥堵也是I.个严重的问题,而且道路会有大幅度的沉降和破碎.从社会方面考虑,运输业的扩大和社会的发展,也使扩大道路出口势在必行.由于道路已建成多年,没有电子信息,也没有完整的设计图纸,这给道路扩建带来了很大困难.经过研究,利用所有智能仪表极坐标法获得的道路中心线III次样条函数和边界条件拟合参数,可以为重建项目提供技术支持.表I.显示了曲线拟合的结果.
II.II采样点步长跨度的分析
现在,我们将采样点步长间距分为I.00m,VI0m,V0m及IV0m来分析错误的曲线结构.由于拟合曲线与原线之间存在着有不同,我们将在全长中根据相同的x计算坐标比较y坐标的边缘.当x坐标给出后,可以利用公式(IV)通过y坐标得到的非嵌合步长值.然后研究了不同的采样步骤是如何影响III次样条的拟合误差的.
根据表II我们可以看出,最大的误差点靠近主点,而线误差小的和较大的误差点都在曲线上.统计全长路线拟合误差列于表III.
表III不同采样步长的全长路线拟合误差统计
拟合间距(m)最小误差(m)平均误差(m)错误波动范围△y≠0全部的点△y≠0配给点
IV00.0I.0-0.000VIcmIII.IIIIV.IVIII
V00.0IIVI-0.000VcmIIIIIIVIV.I.0
VI00.0IVIV-0.000IVcmIIVIIIVIV.IIVI
I.000.I.VII-0.00IXVIIcmIVVIVIIV.IVI.
III结论
I.)在主点附近的更多误差
道路平面线形是由III个基本要素组成,包括直线,缓和曲线和圆曲线.当利用III次样条函数进行曲线拟合时,随着半径逐渐减小,曲线的形式也从I.次多项式变为III次.两次多项式.主点由不同线形中的步长决定,在用同I.个公式描述III个不同特点线性时会出现错误.因此,主点拟合误差是最大的.
II)密集的拟合点步长有利于促进III次样条曲线拟合精度
随着减少拟合点的跨度(从I.00米降为IV0m),误差从0.I.0I.米降低到了0.0I.0米.也就是说,选定的采样点跨度密度越大,III次样条曲线拟合精度更加准确.
III)在该行采样点的跨度应该较大而曲线应该较小.但减少的步骤是势必会增加节点的数量,同时测量和工作强度也增加了,导致效率降低.因此,不同的配件步长跨度应按照在实际工程中线性的特性而取.为了保持曲线拟合精度和工作强度之间的平衡,拟合步长的密度曲线可取小点(例如选择II0米为I.步),而在直线上则可以适当放宽,如V0米.
IV)为了保证数据的准确性,提高了拟合的精度,采样点可以通过使用CAD样条曲线绘制,检查拟合过程中是否有错误.同时我们可以在曲线的特征上初步确定曲线主点和两个特征点的拟合区间.
参考文献
[I.]郑善文.逆向工程中的曲线和曲面拟合研究[D].南京:东南大学,II00IV
[II]刘晓峰.GPS定位技术在公路控制测量的应用[D].大连:大连科学与技术理工大学,II00II
[III]王能超.数值分析简明教程[M].高等教育出版社,II00I.:VII-VVII
[IV]徐世亮.数值分析与算法[M].北京:机械工业出版社,II00III:I.IIII.-I.IXII[V]
[V]张玉华.公路勘察设计[M].北京:人民交通出版社,II00II
[VI]缪坤,詹振燕.直线约束的道路线形设计通用方法[J].中国公路学报,II00II.I.V(III):IIVI-IIVIII
[VII]姚连斌,刘春.样条函数与稳健符合线性识别中的应用[J].同济大学学报(自然科学版),II00IV.IIIII(VII):IXIVIII-IXIVVI
[VIII]紫建明,陈宏志,孙桂清.改扩建道路工程线型拟合设计[J].中国市政工程,II00III(II):I.-V
[IX]童晓华,刘大杰.道路曲线数字化数据的联合平差模型[J].武汉大学测绘与信息科学董事会,II00I..IIVI(I.):VIIV-VIVIII
[I.0]林志鑫,皇甫贵,周景亮.III次样条函数的采样点分布方法研究[J].福建工程学报,II00V.III(III):III.II-III.V
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