光子系统的热力学性质研究
光子系统的热力学性质研究学院物理与电子工程学院[20191211095630]
摘要
众所周知，光子在人们的生产生活中得到了多方面的应用，大量的光子产品出现在我们生活的周围。比如大家都很熟悉的激光，在医疗，军事，工业，商业，信息，科研等领域都有所应用，因此对于光子系统的研究有着极其重要的意义。本文首先对光子系统进行了详细的介绍，主要是针对粒子数守恒与不守恒两种情况下的光子系统的特点进行详细分析，从而研究这两种情况下的光子系统的热力学函数（内能，热容，熵，自由能，吉布斯函数，哈密顿量等），并推导出相关的物理量。光子气体遵循玻色分布，通过数学方法找到其巨配分函数，从而通过巨配分函数求解其热力学量。并对两种情况下的热力学量进行对比分析，找出其异同点。最后文章分析了光子系统的化学势 和拉氏乘子 ，找到这两个物理量的函数表达式，使其成为可以间接测量的物理量。
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关键字:光子系统热力学函数巨配分函数化学势拉氏乘子
目录
1.玻色分布的巨配分函数 4
1.1巨正则系综 4
1.2微观粒子的三种分布方式 4
1.3玻色分布的巨配分函数 5
1.3.1巨配分函数 的定义式 5
1.3.2玻色分布的巨配分函数的具体表达式 5
2.粒子数不守恒时的光子系统的热力学函数 6
2.1空窖内的平衡辐射 6
2.2粒子数不守恒时光子气体的巨配分函数 7
2.2.1关于化学势 的基本介绍 7
2.2.2粒子数不守恒时的光子气体的巨配分函数 7
2.3粒子数不守恒的光子气体的热力学函数 9
2.4由内能求解光子系统的其它热力学函数 10
3.粒子数守恒时的光子系统的热力学函数 11
3.1粒子数守恒时光子系统的巨配分函数 11
3.2粒子数守恒时光子系统的热力学函数 13
3.3光子系统的粒子数 15
3.3.1通过巨配分函数求解粒子总数 15
3.3.2从平均值角度求解粒子总数 15
4.粒子数守恒时光子系统的化学势 与拉氏乘子 的推导 16
4.1通过拉氏乘子 求解化学势 16
4.2通过化学势 求解拉氏乘子 17
附录 18
附录A 18
附录B 19
1.玻色分布的巨配分函数
1.1巨正则系综
具有确定的温度T、体积V和粒子数N的系统的分布被称作是正则分布，但是在有些实际问题中系统的粒子数并不是确定的。比如使一个系统与粒子源和热源接触而达到平衡，该系统与源交换粒子和能量，因此在该系统的各个可能的微观状态中，其能量和粒子数可具有不同的数值。体系的宏观约束是要求热源兼粒子源充分的大，使其与体系交换能量和粒子时而不会改变源的温度以及各物质的化学势[4]。
但是由于源非常的大，尽管交换了粒子和能量，源的温度和化学势并没有被改变，达到平衡后的系统将与源具有相同的温度和化学势。与外界不仅交换能量同时还交换粒子数的系统称为开放系。为了便于研究开放系热力学函数随粒子数的变化，需要引入巨正则系综。因为当该系统与外界交换粒子而达到平衡时，系统具有确定的化学势，交换能量达到平衡时系统具有确定的温度。除此之外，其位形参数也应该确定（例如，当力学平衡时其体积具有确定值）。所以，有时候就说巨正则系综所描述的体系是具有确定的化学势、温度与体积的系统。此类系综的分布被称作是巨正则分布。
1.2微观粒子的三种分布方式
微观粒子的三种分布方式：①玻尔兹曼分布 ②玻色分布 ③费米分布
对于N个粒子，设粒子的能级为 （ =1,2,3,），能级 的简并度为 ，在能级 上有 个粒子。以符号{ }表示数列 ， ，， ，，称为一个分布。从而对于具有确定的N、E、V的系统，有 ，
玻尔兹曼系统微观状态数是： ，最概然分布：
玻色系统的微观状态数是： ，最概然分布：
费米系统的微观状态数是： ，最概然分布：
其中的 、 称为拉氏乘子，特别值得指出的是：虽然这两个因子是数学方法引入的，但是当时其物理内涵极其丰富，现代研究表明它们都是可以间接可测量的。
1.3玻色分布的巨配分函数
1.3.1巨配分函数 的定义式
在巨正则系综所研究的系统中需要引入巨配分函数 ，它的定义是[5]
(1.3.1)
式（1.3.1）包括两重求和，在某一粒子总数N的条件下，对系统所有可能的微观状态进行求和（注意要计及微观粒子全同性原理的要求），而粒子数N则可以取0到 中的任何数值；然后再对全部可能的量子态数s求和。式（1.3.1）是巨正则分布的量子表达式。
1.3.2玻色分布的巨配分函数的具体表达式
由1.3.1中可知巨配分函数的量子表达式是 （ 是对应于第s个状态的能量的本征值）
以下为了方便计算，可以将量子态求和转换成对能级的求和。令体系对应于能级的求和。令体系对应于能级 的简并度为 ，从而得到： （1.3.2）
其中 是体系的第 个能级，该能级也可以用单个粒子能量来表示：
(1.3.3)
为单粒子能态 中的粒子数，满足下面条件:
(1.3.4)
将式（1.3.3）、（1.3.4）代入式（1.3.2）得： ，下面计算简并度 ：满足总的能量是 的分布并不仅仅只是一种分布，并且当给定一个分布{ }时，又对应体系的不止一种状态，令这样的状态数为g,所以 的结果应该是对满足能量为 的所有可能分布状态的求和而得到的。即： （1.3.5）对于式（1.3.5）中的求和 是在满足条件（1.3.3）（1.3.4）两式下进行的，其中的 表示的是体系给定分布下的统计权重（即简并度）。对于本文所要研究的系统（玻色系统），由于粒子是不可分辨的，所以交换粒子并不改变体系原有的状态，即不会产生新的量子态，所以在这种情况下，统计权重 。从而有
（其中 ）
对于玻色子 （1.3.6）
因为 ，利用公式 ，（ ）。此处将式（1.3.6）中的因子 看作上述公式中的 ,因此可以将巨配分函数 的表达式转化为
所以玻色分布的巨配分函数的最终表达式可以表示为： （1.3.7）因为在求解所研究的系统的热力学函数式，并不是直接通过巨配分函数的表达式进行求解，而是利用到巨配分函数的对数形式，一般是先求出巨配分函数的对数 ，然后再利用相应的热力学方程求解得到热力学函数。所以在这里要对玻色分布的配分函数进行求对数。从而得到其对数形式为：
（1.3.8）
2.粒子数不守恒时的光子系统的热力学函数
2.1空窖内的平衡辐射
受热的固体便会辐射出电磁波，被称之为热辐射。通常的情况下热辐射的强度和辐射强度按照频率的分布与辐射体的温度和性质有关。但是当辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡时，热辐射的特性便将仅仅取决于温度，而与该辐射体的其它特性并无关系，此种情况下的的辐射便被称之为平衡辐射。
考虑一个封闭的空窖，使空窖的腔壁保持着一定的温度T。空窖腔壁便会不断地向空窖内发射和吸收电磁波，空窖内的辐射场与空窖的腔壁达到平衡后，两者便会具有相同的温度，显然空窖内的辐射便是上面所述的平衡辐射。通过热力学的一般论据便可以证明，空窖内的平衡辐射是空间均匀且各向同性的。它的内能密度和内能密度按频率的分布只取决于温度，而与空窖的其它特性无关。
2.2粒子数不守恒时光子气体的巨配分函数
2.2.1关于化学势 的基本介绍
化学势 是热力学与统计物理学中的一个非常重要的物理学量，对于它的定义方法有许多种，但也正是因为其具有这么多种定义的方法，才导致了人们对于化学势的物理意义理解的并不是很清楚。在这里指出在针对单元系时，化学势 仅仅指的是1mol的吉布斯函数G[6]，而并不是1mol的焓、1mol的内能、1mol的自由能。但是对于多元系来讲，化学势 指的是1mol吉布斯函数这个定义便不再成立，此时的化学势仅仅是吉布斯函数的偏摩尔量。与此同时，通过具体实例的分析，我们不能说因为系统的粒子数发生了变化，所以该系统的化学势就为零。这里必须要指出的是：当且仅当系统的粒子数发生了变化，并且在粒子数发生改变时不受到任何的限制与约束，只有在这种情况下我们才能说该系统的化学势 为零。
通过以上的分析我们可以看出：不能仅仅以某个系统的粒子总数是否发生了改变这一条件为标准来判断这个系统的化学势 是不是为零，而是应该根据该系统的粒子总数在发生变化时是否受到了约束为标准来进行判断。如果粒子总数在变化过程中受到约束，那么该系统的化学势便不再为零，如果不是，那么系统的化学势就为零。例如，在天体物理条件下，存在着粒子数守恒的光子气体，在研究这种情况下平衡光子的性质时，就应该注意到这个系统的化学势 不是零。（关于化学势 的详细介绍，付清荣、赵建东对此作了研究，详细内容请参阅参考文献[6]）
2.2.2粒子数不守恒时的光子气体的巨配分函数
光子与其它物质相互作用时便会发生光子的湮灭与产生，当电磁场与空窖的腔壁交换光子达到平衡（即光子气体处于平衡状态时）时，光子的总粒子数是不守恒的，即粒子数守恒的条件便不成立，平均粒子数由以下条件[7]给出：
(F是系统的自由能) (2.2.1)式（2.2.1）表明，此种情况下的光子的化学势 等于零。
光子气体是理想玻色气体，在1.3.2中已经求出玻色分布的巨配分函数的对数表达形式为： （2.2.2）因为光子系统的化学势 为零，所以根据公式 而得到 。（由于光子数是不守恒的，所以在导出玻色分布时只存在能量E是常量的条件，粒子数N为常量的条件不存在，所以只引进一个拉氏乘子 ，此时 ）。
因为 ，所以式（2.2.2）可改写为： （2.2.3）由于单个粒子的体积非常的小，所以对于粒子子来讲空窖的体积相当于是无穷大。当体积V趋于无穷时，粒子的能级便可以看作是连续的（在实际的体系中，V与微观体积相比是一个大数，因此能级均可以看作是连续的）。那么此时便可以将式（2.2.3）中的求和号换成用积分来表示。即做如下的变换：
（其中 称为能态密度）
在体积V内，动量大小在p到p+dp范围内（动量方向为任意的方向），自由粒子可能出现的状态数为 。
已知光子的自旋量子数为1，所以其自旋在动量方向上的投影可以取 两个可能值，这就相当于左、右圆偏振。根据上面所述的自由粒子可能出现的状态数为 ，并考虑到光子自旋时有两个投影，便可以得到在体积为V的辐射场内，p到p+dp的范围内，光子的量子态数为[8]：
因为 ， ， 由此得出：在体积为V的辐射场内，在 到 的圆频率范围内，光子的量子态数为： 。因此，
（2.2.4）
下面便对式（2.2.4）进行详细的求解：
令 ，便可得到： ， ，
所以，
上面所得结果中的积分 的结果为 （积分过程见附录A）
所以， （2.2.5）
2.3粒子数不守恒的光子气体的热力学函数
将光子和能级两者的统计一并考虑，指出的主要的事实是光子是不可分辨的。所以在给定的体积V中，光子数是不确定的，也就是在讨论此时的光子统计时，固定一个N值的约束条件便不再存在。即在正则分布条件下的公式 中的确定值N在巨正则分布条件下求解系统内能时便不再存在。
前面已经求得巨配分函数的对数形式的具体表达式,即式（2.2.5）,那么在这种情况下的光子系统的热力学函数便均可以通过该式而求得。
光子系统的内能U：
内能密度u： （与空窖内的辐射达到平衡时，其内能密度只和空窖内的温度有关相吻合）
等容热容 ：
压强p：
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众所周知，光子在人们的生产生活中得到了多方面的应用，大量的光子产品出现在我们生活的周围。比如大家都很熟悉的激光，在医疗，军事，工业，商业，信息，科研等领域都有所应用，因此对于光子系统的研究有着极其重要的意义。本文首先对光子系统进行了详细的介绍，主要是针对粒子数守恒与不守恒两种情况下的光子系统的特点进行详细分析，从而研究这两种情况下的光子系统的热力学函数（内能，热容，熵，自由能，吉布斯函数，哈密顿量等），并推导出相关的物理量。光子气体遵循玻色分布，通过数学方法找到其巨配分函数，从而通过巨配分函数求解其热力学量。并对两种情况下的热力学量进行对比分析，找出其异同点。最后文章分析了光子系统的化学势 和拉氏乘子 ，找到这两个物理量的函数表达式，使其成为可以间接测量的物理量。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:光子系统热力学函数巨配分函数化学势拉氏乘子
目录
1.玻色分布的巨配分函数 4
1.1巨正则系综 4
1.2微观粒子的三种分布方式 4
1.3玻色分布的巨配分函数 5
1.3.1巨配分函数 的定义式 5
1.3.2玻色分布的巨配分函数的具体表达式 5
2.粒子数不守恒时的光子系统的热力学函数 6
2.1空窖内的平衡辐射 6
2.2粒子数不守恒时光子气体的巨配分函数 7
2.2.1关于化学势 的基本介绍 7
2.2.2粒子数不守恒时的光子气体的巨配分函数 7
2.3粒子数不守恒的光子气体的热力学函数 9
2.4由内能求解光子系统的其它热力学函数 10
3.粒子数守恒时的光子系统的热力学函数 11
3.1粒子数守恒时光子系统的巨配分函数 11
3.2粒子数守恒时光子系统的热力学函数 13
3.3光子系统的粒子数 15
3.3.1通过巨配分函数求解粒子总数 15
3.3.2从平均值角度求解粒子总数 15
4.粒子数守恒时光子系统的化学势 与拉氏乘子 的推导 16
4.1通过拉氏乘子 求解化学势 16
4.2通过化学势 求解拉氏乘子 17
附录 18
附录A 18
附录B 19
1.玻色分布的巨配分函数
1.1巨正则系综
具有确定的温度T、体积V和粒子数N的系统的分布被称作是正则分布，但是在有些实际问题中系统的粒子数并不是确定的。比如使一个系统与粒子源和热源接触而达到平衡，该系统与源交换粒子和能量，因此在该系统的各个可能的微观状态中，其能量和粒子数可具有不同的数值。体系的宏观约束是要求热源兼粒子源充分的大，使其与体系交换能量和粒子时而不会改变源的温度以及各物质的化学势[4]。
但是由于源非常的大，尽管交换了粒子和能量，源的温度和化学势并没有被改变，达到平衡后的系统将与源具有相同的温度和化学势。与外界不仅交换能量同时还交换粒子数的系统称为开放系。为了便于研究开放系热力学函数随粒子数的变化，需要引入巨正则系综。因为当该系统与外界交换粒子而达到平衡时，系统具有确定的化学势，交换能量达到平衡时系统具有确定的温度。除此之外，其位形参数也应该确定（例如，当力学平衡时其体积具有确定值）。所以，有时候就说巨正则系综所描述的体系是具有确定的化学势、温度与体积的系统。此类系综的分布被称作是巨正则分布。
1.2微观粒子的三种分布方式
微观粒子的三种分布方式：①玻尔兹曼分布 ②玻色分布 ③费米分布
对于N个粒子，设粒子的能级为 （ =1,2,3,），能级 的简并度为 ，在能级 上有 个粒子。以符号{ }表示数列 ， ，， ，，称为一个分布。从而对于具有确定的N、E、V的系统，有 ，
玻尔兹曼系统微观状态数是： ，最概然分布：
玻色系统的微观状态数是： ，最概然分布：
费米系统的微观状态数是： ，最概然分布：
其中的 、 称为拉氏乘子，特别值得指出的是：虽然这两个因子是数学方法引入的，但是当时其物理内涵极其丰富，现代研究表明它们都是可以间接可测量的。
1.3玻色分布的巨配分函数
1.3.1巨配分函数 的定义式
在巨正则系综所研究的系统中需要引入巨配分函数 ，它的定义是[5]
(1.3.1)
式（1.3.1）包括两重求和，在某一粒子总数N的条件下，对系统所有可能的微观状态进行求和（注意要计及微观粒子全同性原理的要求），而粒子数N则可以取0到 中的任何数值；然后再对全部可能的量子态数s求和。式（1.3.1）是巨正则分布的量子表达式。
1.3.2玻色分布的巨配分函数的具体表达式
由1.3.1中可知巨配分函数的量子表达式是 （ 是对应于第s个状态的能量的本征值）
以下为了方便计算，可以将量子态求和转换成对能级的求和。令体系对应于能级的求和。令体系对应于能级 的简并度为 ，从而得到： （1.3.2）
其中 是体系的第 个能级，该能级也可以用单个粒子能量来表示：
(1.3.3)
为单粒子能态 中的粒子数，满足下面条件:
(1.3.4)
将式（1.3.3）、（1.3.4）代入式（1.3.2）得： ，下面计算简并度 ：满足总的能量是 的分布并不仅仅只是一种分布，并且当给定一个分布{ }时，又对应体系的不止一种状态，令这样的状态数为g,所以 的结果应该是对满足能量为 的所有可能分布状态的求和而得到的。即： （1.3.5）对于式（1.3.5）中的求和 是在满足条件（1.3.3）（1.3.4）两式下进行的，其中的 表示的是体系给定分布下的统计权重（即简并度）。对于本文所要研究的系统（玻色系统），由于粒子是不可分辨的，所以交换粒子并不改变体系原有的状态，即不会产生新的量子态，所以在这种情况下，统计权重 。从而有
（其中 ）
对于玻色子 （1.3.6）
因为 ，利用公式 ，（ ）。此处将式（1.3.6）中的因子 看作上述公式中的 ,因此可以将巨配分函数 的表达式转化为
所以玻色分布的巨配分函数的最终表达式可以表示为： （1.3.7）因为在求解所研究的系统的热力学函数式，并不是直接通过巨配分函数的表达式进行求解，而是利用到巨配分函数的对数形式，一般是先求出巨配分函数的对数 ，然后再利用相应的热力学方程求解得到热力学函数。所以在这里要对玻色分布的配分函数进行求对数。从而得到其对数形式为：
（1.3.8）
2.粒子数不守恒时的光子系统的热力学函数
2.1空窖内的平衡辐射
受热的固体便会辐射出电磁波，被称之为热辐射。通常的情况下热辐射的强度和辐射强度按照频率的分布与辐射体的温度和性质有关。但是当辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡时，热辐射的特性便将仅仅取决于温度，而与该辐射体的其它特性并无关系，此种情况下的的辐射便被称之为平衡辐射。
考虑一个封闭的空窖，使空窖的腔壁保持着一定的温度T。空窖腔壁便会不断地向空窖内发射和吸收电磁波，空窖内的辐射场与空窖的腔壁达到平衡后，两者便会具有相同的温度，显然空窖内的辐射便是上面所述的平衡辐射。通过热力学的一般论据便可以证明，空窖内的平衡辐射是空间均匀且各向同性的。它的内能密度和内能密度按频率的分布只取决于温度，而与空窖的其它特性无关。
2.2粒子数不守恒时光子气体的巨配分函数
2.2.1关于化学势 的基本介绍
化学势 是热力学与统计物理学中的一个非常重要的物理学量，对于它的定义方法有许多种，但也正是因为其具有这么多种定义的方法，才导致了人们对于化学势的物理意义理解的并不是很清楚。在这里指出在针对单元系时，化学势 仅仅指的是1mol的吉布斯函数G[6]，而并不是1mol的焓、1mol的内能、1mol的自由能。但是对于多元系来讲，化学势 指的是1mol吉布斯函数这个定义便不再成立，此时的化学势仅仅是吉布斯函数的偏摩尔量。与此同时，通过具体实例的分析，我们不能说因为系统的粒子数发生了变化，所以该系统的化学势就为零。这里必须要指出的是：当且仅当系统的粒子数发生了变化，并且在粒子数发生改变时不受到任何的限制与约束，只有在这种情况下我们才能说该系统的化学势 为零。
通过以上的分析我们可以看出：不能仅仅以某个系统的粒子总数是否发生了改变这一条件为标准来判断这个系统的化学势 是不是为零，而是应该根据该系统的粒子总数在发生变化时是否受到了约束为标准来进行判断。如果粒子总数在变化过程中受到约束，那么该系统的化学势便不再为零，如果不是，那么系统的化学势就为零。例如，在天体物理条件下，存在着粒子数守恒的光子气体，在研究这种情况下平衡光子的性质时，就应该注意到这个系统的化学势 不是零。（关于化学势 的详细介绍，付清荣、赵建东对此作了研究，详细内容请参阅参考文献[6]）
2.2.2粒子数不守恒时的光子气体的巨配分函数
光子与其它物质相互作用时便会发生光子的湮灭与产生，当电磁场与空窖的腔壁交换光子达到平衡（即光子气体处于平衡状态时）时，光子的总粒子数是不守恒的，即粒子数守恒的条件便不成立，平均粒子数由以下条件[7]给出：
(F是系统的自由能) (2.2.1)式（2.2.1）表明，此种情况下的光子的化学势 等于零。
光子气体是理想玻色气体，在1.3.2中已经求出玻色分布的巨配分函数的对数表达形式为： （2.2.2）因为光子系统的化学势 为零，所以根据公式 而得到 。（由于光子数是不守恒的，所以在导出玻色分布时只存在能量E是常量的条件，粒子数N为常量的条件不存在，所以只引进一个拉氏乘子 ，此时 ）。
因为 ，所以式（2.2.2）可改写为： （2.2.3）由于单个粒子的体积非常的小，所以对于粒子子来讲空窖的体积相当于是无穷大。当体积V趋于无穷时，粒子的能级便可以看作是连续的（在实际的体系中，V与微观体积相比是一个大数，因此能级均可以看作是连续的）。那么此时便可以将式（2.2.3）中的求和号换成用积分来表示。即做如下的变换：
（其中 称为能态密度）
在体积V内，动量大小在p到p+dp范围内（动量方向为任意的方向），自由粒子可能出现的状态数为 。
已知光子的自旋量子数为1，所以其自旋在动量方向上的投影可以取 两个可能值，这就相当于左、右圆偏振。根据上面所述的自由粒子可能出现的状态数为 ，并考虑到光子自旋时有两个投影，便可以得到在体积为V的辐射场内，p到p+dp的范围内，光子的量子态数为[8]：
因为 ， ， 由此得出：在体积为V的辐射场内，在 到 的圆频率范围内，光子的量子态数为： 。因此，
（2.2.4）
下面便对式（2.2.4）进行详细的求解：
令 ，便可得到： ， ，
所以，
上面所得结果中的积分 的结果为 （积分过程见附录A）
所以， （2.2.5）
2.3粒子数不守恒的光子气体的热力学函数
将光子和能级两者的统计一并考虑，指出的主要的事实是光子是不可分辨的。所以在给定的体积V中，光子数是不确定的，也就是在讨论此时的光子统计时，固定一个N值的约束条件便不再存在。即在正则分布条件下的公式 中的确定值N在巨正则分布条件下求解系统内能时便不再存在。
前面已经求得巨配分函数的对数形式的具体表达式,即式（2.2.5）,那么在这种情况下的光子系统的热力学函数便均可以通过该式而求得。
光子系统的内能U：
内能密度u： （与空窖内的辐射达到平衡时，其内能密度只和空窖内的温度有关相吻合）
等容热容 ：
压强p：
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