高等数学在中学数学不等式中的应用【字数：9797】
随着时代的飞速发展，社会对于人才要求的不断提高，新课程改革和中学数学教育改革不断进行。在近几年的高考中，以高等数学为背景，能够利用高等数学优化解题的问题时有出现，尤其是在高考压轴题中。让学生了解高等数学中重要的知识方法思想对于拓宽他们的数学视野，优化思维方式，提高他们的数学素养和解决问题的能力都非常有益。不等式是中学数学的一个重要内容，对于考察学生综合运用知识的能力和锻炼学生的思维品质非常有帮助。本文通过选取了高等数学中尤其是数学分析部分的重要内容极限、导数部分的凸函数， 级数部分的函数的泰勒级数展开式，用具体的例题说明它们在中学数学不等式中的应用。
目 录
1.绪论 1
1.1研究的背景 1
1.2文献综述 1
2.高等数学与中学数学的联系 3
2.1集合与集合论 3
2.2映射与函数 3
2.3变换群与平面解析几何 4
3.高等数学在中学数学不等式中的应用 5
3.1高中涉及的不等式 5
3.2极限在不等式中的应用 5
3.2.1 极限的教学 6
3.2.2极限的应用举例 6
3.3凸函数在不等式中的应用 8
3.3.1凸函数的教学 9
3.3.2凸函数的应用举例 9
3.4泰勒级数在不等式中的应用 11
3.4.1泰勒级数的教学 11
3.4.2泰勒级数的应用举例 11
4.总结、建议与不足 13
参考文献 13
致谢 14
1. 绪论
1.1研究的背景
现代社会飞速发展，21世纪是科技创新的时代，原有的传统的教学方式和内容已经不足以培养出创新型的优秀人才。尤其是在数学教育方面，如果教师的教学仍然停留局限在书本知识的传授，使用题海战来使学生面对竞争激烈的选拔考试，纵使学生取得了考试分数上的胜利，今后的发展也会变得有所局限。
教育质量的提高在于教师，教师的眼界和数学素养，教师看待问题的思维方式直接影响到了学生的思维和发展。中学数学的许多内容由于考虑到学生本身的认识发展水平而被人为的简化 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
处理，概念结论有时被直接给出，考试试题也容易被归纳和总结出题型，教师的教学很容易陷入侧重帮助学生归纳题型，侧重于培养解题高手，而忽略了数学本身学习的意义。学生也容易形成思维定式，只能解决已熟悉的题型，而没有灵活运用知识的思维能力。
初等数学与高等数学是密不可分的整体，教师如果对高等数学的知识不熟悉，不了解整个数学发展的过程，不能够指出高等数学与中学数学的联系，那么教师对于中学数学的把握就会有一定的局限性，无法做到对知识教学的创新，让学生体会到数学思维的奥秘，无法使课堂成为生动活泼，带有探究性和趣味性的课堂。
为了拓展学生的知识层面，进一步提高学生的思维能力和对数学的理解，高中数学选修部分已经有意识的将一部分高等数学的知识引入到中学教学中。教师如果能够准确把握这些内容的精髓，将高中数学与高等数学的衔接点找到，就有可能帮助学生在思维层面上有质的提升。
在中学数学中，有关不等式的题目常常是结合函数、数列、几何等部分的内容给出的综合性试题，这类题目常常考察学生综合运用知识的能力，并且解题方式灵活多样，学生往往感到解题困难，无从下手。
本文希望通过对高等数学与中学数学内在联系的研究，结合具体的不等式试题，说明高等数学的知识和思想方法对于中学数学的指导价值以及作为教师不断提升自身数学学习和素养的必要性。
1.2文献综述
唐复苏老师在《中学数学现代基础》一书中从中学数学中反映的基本的现代数学思想如集合、关系、数学结构等进行研究；从对中学数学起重要作用的概念如函数、算法、图形等进行分析；从中学数学中使用的语言还有逻辑基础进行分析研究，给出了较高的数学观点和丰富的数学内容。
胡炳生、吴俊老师等在《现代数学观点下的中学数学》一书中指出大部分的高等数学课程与中学数学严重脱节，学生所学的高等数学与中学数学联系不上，不能做到居高而临下。这本书主要说明了在现代数学观点下，沟通高等数学与中学数学的联系。将内容分成现代数学思想和方法在中学数学的渗透；用具体的材料说明高等数学对中学数学的指导意义以及指出中学数学某些难以处理的高等数学背景三大部分进行说明。
李三平老师在《高等数学与中学数学》讲解了高等数学中许多最重要概念定理的发展历程 ，着重说明了从高等数学观点看待中学数学学习的不同之处和重要性。
郭丽云老师在《“高观点”下的中学数学问题分析及教学探索》（“高观点”即从高等数学的角度出发看待中学数学）一文中，指出了新课程改革中已经有“高观点”素材的渗透，分析了“高观点”下中学数学问题的特点和应对策略，并且用实验的方法证明了在“高观点”下进行数学教学的成效显著。
李连杰老师在《“高观点”下的中学数学的实践与认识》一文中指出了当代中学数学教师在高等数学知识方面的欠缺和科研能力的不足，强调高观点下的中学数学研究是一种自下而上的自我更新教学研究，强调中学数学和高等数学紧密联系以及用高观点研究高考试题，开展高观点教学无论是对教师还是学生的数学研究性学习都大有裨益。
2.高等数学与中学数学的联系
由于中学不等式常常与数列、函数，三角证明，几何证明联系在一起，为了从高等数学的角度全面地看待中学不等式，本文将先粗略地探讨中学数学的各个部分与高等数学之间的密切联系。
在中学数学课程标准中，高中数学课程分为必修课和选修课，必修课由5个模块组成，这5个模块分别是1.集合、函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）；2.立体几何初步、平面解析几何初步；3.算法初步、统计、概率；4.基本初等函数（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；5.解三角形、数列、不等式。
本文选取了集合、函数、向量、解析几何四个方面，从高等数学的观点来重新认识这部分中学数学的知识，对高等数学在帮助中学教师对数学理解方面的重要性进行说明。
2.1集合与集合论
集合论是现代数学的基础，在高中，集合与映射也是作为学生必须掌握的基础知识。由于在高考中，涉及集合的考题非常简单，部分高中老师的教学常常会忽视集合的重要性，但事实上，如果能够用集合论的眼光看待中学数学，将集合论的思想渗透到中学中去，学生的数学素养和思维方式的层次可能就会提高很多。
目 录
1.绪论 1
1.1研究的背景 1
1.2文献综述 1
2.高等数学与中学数学的联系 3
2.1集合与集合论 3
2.2映射与函数 3
2.3变换群与平面解析几何 4
3.高等数学在中学数学不等式中的应用 5
3.1高中涉及的不等式 5
3.2极限在不等式中的应用 5
3.2.1 极限的教学 6
3.2.2极限的应用举例 6
3.3凸函数在不等式中的应用 8
3.3.1凸函数的教学 9
3.3.2凸函数的应用举例 9
3.4泰勒级数在不等式中的应用 11
3.4.1泰勒级数的教学 11
3.4.2泰勒级数的应用举例 11
4.总结、建议与不足 13
参考文献 13
致谢 14
1. 绪论
1.1研究的背景
现代社会飞速发展，21世纪是科技创新的时代，原有的传统的教学方式和内容已经不足以培养出创新型的优秀人才。尤其是在数学教育方面，如果教师的教学仍然停留局限在书本知识的传授，使用题海战来使学生面对竞争激烈的选拔考试，纵使学生取得了考试分数上的胜利，今后的发展也会变得有所局限。
教育质量的提高在于教师，教师的眼界和数学素养，教师看待问题的思维方式直接影响到了学生的思维和发展。中学数学的许多内容由于考虑到学生本身的认识发展水平而被人为的简化 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
处理，概念结论有时被直接给出，考试试题也容易被归纳和总结出题型，教师的教学很容易陷入侧重帮助学生归纳题型，侧重于培养解题高手，而忽略了数学本身学习的意义。学生也容易形成思维定式，只能解决已熟悉的题型，而没有灵活运用知识的思维能力。
初等数学与高等数学是密不可分的整体，教师如果对高等数学的知识不熟悉，不了解整个数学发展的过程，不能够指出高等数学与中学数学的联系，那么教师对于中学数学的把握就会有一定的局限性，无法做到对知识教学的创新，让学生体会到数学思维的奥秘，无法使课堂成为生动活泼，带有探究性和趣味性的课堂。
为了拓展学生的知识层面，进一步提高学生的思维能力和对数学的理解，高中数学选修部分已经有意识的将一部分高等数学的知识引入到中学教学中。教师如果能够准确把握这些内容的精髓，将高中数学与高等数学的衔接点找到，就有可能帮助学生在思维层面上有质的提升。
在中学数学中，有关不等式的题目常常是结合函数、数列、几何等部分的内容给出的综合性试题，这类题目常常考察学生综合运用知识的能力，并且解题方式灵活多样，学生往往感到解题困难，无从下手。
本文希望通过对高等数学与中学数学内在联系的研究，结合具体的不等式试题，说明高等数学的知识和思想方法对于中学数学的指导价值以及作为教师不断提升自身数学学习和素养的必要性。
1.2文献综述
唐复苏老师在《中学数学现代基础》一书中从中学数学中反映的基本的现代数学思想如集合、关系、数学结构等进行研究；从对中学数学起重要作用的概念如函数、算法、图形等进行分析；从中学数学中使用的语言还有逻辑基础进行分析研究，给出了较高的数学观点和丰富的数学内容。
胡炳生、吴俊老师等在《现代数学观点下的中学数学》一书中指出大部分的高等数学课程与中学数学严重脱节，学生所学的高等数学与中学数学联系不上，不能做到居高而临下。这本书主要说明了在现代数学观点下，沟通高等数学与中学数学的联系。将内容分成现代数学思想和方法在中学数学的渗透；用具体的材料说明高等数学对中学数学的指导意义以及指出中学数学某些难以处理的高等数学背景三大部分进行说明。
李三平老师在《高等数学与中学数学》讲解了高等数学中许多最重要概念定理的发展历程 ，着重说明了从高等数学观点看待中学数学学习的不同之处和重要性。
郭丽云老师在《“高观点”下的中学数学问题分析及教学探索》（“高观点”即从高等数学的角度出发看待中学数学）一文中，指出了新课程改革中已经有“高观点”素材的渗透，分析了“高观点”下中学数学问题的特点和应对策略，并且用实验的方法证明了在“高观点”下进行数学教学的成效显著。
李连杰老师在《“高观点”下的中学数学的实践与认识》一文中指出了当代中学数学教师在高等数学知识方面的欠缺和科研能力的不足，强调高观点下的中学数学研究是一种自下而上的自我更新教学研究，强调中学数学和高等数学紧密联系以及用高观点研究高考试题，开展高观点教学无论是对教师还是学生的数学研究性学习都大有裨益。
2.高等数学与中学数学的联系
由于中学不等式常常与数列、函数，三角证明，几何证明联系在一起，为了从高等数学的角度全面地看待中学不等式，本文将先粗略地探讨中学数学的各个部分与高等数学之间的密切联系。
在中学数学课程标准中，高中数学课程分为必修课和选修课，必修课由5个模块组成，这5个模块分别是1.集合、函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）；2.立体几何初步、平面解析几何初步；3.算法初步、统计、概率；4.基本初等函数（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；5.解三角形、数列、不等式。
本文选取了集合、函数、向量、解析几何四个方面，从高等数学的观点来重新认识这部分中学数学的知识，对高等数学在帮助中学教师对数学理解方面的重要性进行说明。
2.1集合与集合论
集合论是现代数学的基础，在高中，集合与映射也是作为学生必须掌握的基础知识。由于在高考中，涉及集合的考题非常简单，部分高中老师的教学常常会忽视集合的重要性，但事实上，如果能够用集合论的眼光看待中学数学，将集合论的思想渗透到中学中去，学生的数学素养和思维方式的层次可能就会提高很多。
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