sinna在[-1,1]上的稠密性
sinna在[1,1]上的稠密性[20191226204027]
本文主要研究sinna在[-1,1]的稠密性研究。我们分两种情况讨论
即为有理数和为无理数，最后得出sinna在[-1,1]的稠密性的结论。
关键词：正弦函数 稠密性 有理数 无理数
1.引言 1
2.稠密子集的定义 2
3.讨论为有理数时，sin（n）的稠密性 2
引理3.1 2
命题3.2 3
4.讨论为无理数时，sin（na）的稠密性 3
引理4.1 3
引理4.2 4
命题4.3 5
5小结 6
参考文献 7
致 谢 8
实数的稠密性在数学研究领域具有举足轻重的作用，在工程和实际生活中有着广泛的应用。在实变函数教材中，我们对相关的实数的稠密性论有较系统的介绍。例如有理数的稠密性，无处稠密集，贫集。我研究的课题是《函数sinna的值域的稠密性》，目前对一个固定的集合的稠密性研究较多，而对一个含参量的函数的的值域是否为一区间的稠密集研究较少。
对于稠密的概念，周民强的《实变函数论》给出了对稠密的定义，设，其中为E的闭包。另外又有定义如下，对于数轴上的一个点集，如果说在集合中任意两点之间都能够找到该集合中的另一个点，我们就说该点集在数轴上处处稠密。但是仅仅依靠这两个定义想要证明sinna在[-1,1]的稠密性还是有些困难，蒋晓云的《一个数列的稠密性及其应用》
又给出了另外一个数列稠密的定义，也就是设有数列{xn}，包含于区间[a,b]的任意区间(开或闭)都包含数列{xn}的项,我们称数列{xn}在[a,b]中稠密。在如下的证明当中，证明当为有理数，sinna在[-1,1]上不稠密时我们用到了定义2，证明为无理数，sinna在[-1,1]上稠密时我们用到了定义1和定义3。
对于本题目的证明方面，我发现例如的值为有限个，相对应的a=，又比如，它的值也是有限个，其中a=，所以我猜测为有理数时，y=sinna的值为有限个，这时，可运用定义2进行反证，也就是，对于这有限个值当中，我们只需要找到两个相邻的数就可以了，因为两个相邻数当中怎么也找不到另外一个sinna的值了，所以可以证明当为有理数，sinna在[-1,1]上不稠密。
而在证明是无理数时，sinna的稠密性时，我查阅了蒋晓云的《一个数列的稠密性及其应用》，蒋晓云的{<n>}他解决了数列{<n>}的项的分布，其中<x>=x-[x]。并有如下结论：当是正无理数时,这个数列在[0，1]中稠密，而是有理数时，数列{<n>}总落在[0,1]的有限分点上。蒋晓云先生对为正无理数的研究方法对我研究的函数值域的稠密性研究很有助益。于是我猜测当是无理数时，sinna在[-1,1]上是稠密的。这时我又注意到y=sinx是一个连续函数，可以先证明<na>的稠密性，最后再证明sinna值的稠密性。
对于论文的结构，在第二节我们阐述了本论文所需要运用到的三个定义，这三个定义本质上是等价的，第三节和第四节，我们分别讨论了为有理数，sinna在[-1,1]上的稠密性以及为无理数，sinna在[-1,1]上的稠密性。在第五节，我们对本论文进行了一个小结。
2.稠密子集的定义
下面叙述稠密子集的定义：
定义1：，其中为E的闭包[2]。
定义2对于数轴上的一个点集，如果说在集合中任意两点之间都能够找到该集合中的另一个点，我们就说该点集在数轴上处处稠密。
定义3设有数列{xn}，包含于区间[a,b]的任意区间(开或闭)都包含数列{xn}的项,我们称数列{xn}在[a,b]中稠密c。
显然这三个稠密子集的定义是等价的
本文主要研究sinna在[-1,1]的稠密性研究。我们分两种情况讨论
即为有理数和为无理数，最后得出sinna在[-1,1]的稠密性的结论。
关键词：正弦函数 稠密性 有理数 无理数
1.引言 1
2.稠密子集的定义 2
3.讨论为有理数时，sin（n）的稠密性 2
引理3.1 2
命题3.2 3
4.讨论为无理数时，sin（na）的稠密性 3
引理4.1 3
引理4.2 4
命题4.3 5
5小结 6
参考文献 7
致 谢 8
实数的稠密性在数学研究领域具有举足轻重的作用，在工程和实际生活中有着广泛的应用。在实变函数教材中，我们对相关的实数的稠密性论有较系统的介绍。例如有理数的稠密性，无处稠密集，贫集。我研究的课题是《函数sinna的值域的稠密性》，目前对一个固定的集合的稠密性研究较多，而对一个含参量的函数的的值域是否为一区间的稠密集研究较少。
对于稠密的概念，周民强的《实变函数论》给出了对稠密的定义，设，其中为E的闭包。另外又有定义如下，对于数轴上的一个点集，如果说在集合中任意两点之间都能够找到该集合中的另一个点，我们就说该点集在数轴上处处稠密。但是仅仅依靠这两个定义想要证明sinna在[-1,1]的稠密性还是有些困难，蒋晓云的《一个数列的稠密性及其应用》
又给出了另外一个数列稠密的定义，也就是设有数列{xn}，包含于区间[a,b]的任意区间(开或闭)都包含数列{xn}的项,我们称数列{xn}在[a,b]中稠密。在如下的证明当中，证明当为有理数，sinna在[-1,1]上不稠密时我们用到了定义2，证明为无理数，sinna在[-1,1]上稠密时我们用到了定义1和定义3。
对于本题目的证明方面，我发现例如的值为有限个，相对应的a=，又比如，它的值也是有限个，其中a=，所以我猜测为有理数时，y=sinna的值为有限个，这时，可运用定义2进行反证，也就是，对于这有限个值当中，我们只需要找到两个相邻的数就可以了，因为两个相邻数当中怎么也找不到另外一个sinna的值了，所以可以证明当为有理数，sinna在[-1,1]上不稠密。
而在证明是无理数时，sinna的稠密性时，我查阅了蒋晓云的《一个数列的稠密性及其应用》，蒋晓云的{<n>}他解决了数列{<n>}的项的分布，其中<x>=x-[x]。并有如下结论：当是正无理数时,这个数列在[0，1]中稠密，而是有理数时，数列{<n>}总落在[0,1]的有限分点上。蒋晓云先生对为正无理数的研究方法对我研究的函数值域的稠密性研究很有助益。于是我猜测当是无理数时，sinna在[-1,1]上是稠密的。这时我又注意到y=sinx是一个连续函数，可以先证明<na>的稠密性，最后再证明sinna值的稠密性。
对于论文的结构，在第二节我们阐述了本论文所需要运用到的三个定义，这三个定义本质上是等价的，第三节和第四节，我们分别讨论了为有理数，sinna在[-1,1]上的稠密性以及为无理数，sinna在[-1,1]上的稠密性。在第五节，我们对本论文进行了一个小结。
2.稠密子集的定义
下面叙述稠密子集的定义：
定义1：，其中为E的闭包[2]。
定义2对于数轴上的一个点集，如果说在集合中任意两点之间都能够找到该集合中的另一个点，我们就说该点集在数轴上处处稠密。
定义3设有数列{xn}，包含于区间[a,b]的任意区间(开或闭)都包含数列{xn}的项,我们称数列{xn}在[a,b]中稠密c。
显然这三个稠密子集的定义是等价的
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