可交换矩阵的性质与应用【字数：8770】
矩阵理论有着许多优点，通过把数据集中化，能够透过现象看本质，将许多复杂的问题简单化，在其他许多领域，比如说计算机、无线电通信等都有着重要的地位，因此也受到广大科研人员的青睐。而一旦我们解决了矩阵可交换的相关问题，我们又可以在矩阵计算时再次得到简化。本文主要论述了可交换矩阵的相关性质，并给出一些具体的例题来展示其在处理不同问题上的应用。本文一共有三个章节，第一章主要介绍了本文研究的问题、工作及其意义；第二章揭示并证明了可交换矩阵的一些充分条件以及充要条件；第三章则展示了部分例题阐述了可交换矩阵在行列式、线性空间方面的性质。
目录
1．绪论 1
§1.1 本文研究的问题、工作及其意义 1
§1.2 符号表 2
§1.3 基础知识 2
§1.3.1 矩阵的乘法 2
§1.3.2 矩阵的行列式 3
§1.3.3 矩阵的逆矩阵 3
2.矩阵可交换的充要条件 4
§2.1 矩阵乘法不可交换的几何解释 4
§2.2 矩阵可交换的充分条件 5
§2.3矩阵可交换的充要条件 8
3.可交换矩阵的性质与应用 12
§3.1可交换矩阵的性质 12
§3.2例题 12
结论 18
参考文献 19
致谢 20
1．绪论
§1.1 本文研究的问题、工作及其意义
我们在学实数域上的乘法时，最先学的便是乘法交换律，事实上乘法交换律在初等运算上也展现出了巨大的作用，诸如平方差公式等都是建立在可交换的基础上的。然而若是放到矩阵上，却不再如此。本文旨在研究矩阵在何时可以进行交换，即满足乘法交换律。同样的，一旦满足这样的性质，随之带来的益处是巨大的，方便我们处理很多问题，所以本文的重心也放在了可交换矩阵的一些性质与应用上。
随着科技的迅猛发展以及计算机技术的提升，科学与工程计算即科学计算的研究极大地受到了广大科研工作者的重视。可以说，其应用范围已经涉及到了各个学科的各个领域。随着计算机技术的普及，使得矩阵理论与应用深受数学工作者、科研工作者和工程技术人员的关注。而且矩阵理论有许多优点，它可以将许多复杂的问 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
题简单化，在处理一些工程问题，甚至是计算机、通信等许多高端领域都有着很重要的应用，因此，使用矩阵理论来解决工程技术上的各类问题逐渐受到了工程技术人员的重视，并且其影响日益深化，慢慢成为数学建模中解决实际问题的常用方法。许多基础数学研究者的参与为矩阵论的发展提供了大量的基础知识的支持，而工程技术人员的加入又为该理论的应用开辟了广阔前景。而且我们可以看到在许多高校的很多看似与数学无关的专业，学生却需要学习线性代数这门课程，而线性代数的主体内容又是矩阵的内容，所以说矩阵论已经成为其它领域很重要的解决问题的工具了。。
众所周知，在很多领域里，如计算数学、金融数学、卫星无线电通信、运筹学与控制论、数学建模等等，很多问题都可以通过矩阵的计算来得到简化。但是很多研究人员在研究相关的计算问题时，发现如果能够把实数域的那套计算法则搬到矩阵的计算上，那么可以极大地简化矩阵的计算。然而这只是如果，很多情况下，它是没法实现的。因为绝大部分时候，矩阵不能满足实数域上很重要的几条性质，比如说乘法交换律以及消去律。因此，在进行一些矩阵的运算时，数的一些运算公式都无法直接应用。
而一旦满足了矩阵的乘法交换律，很多问题都会迎刃而解，即便是在解决高等代数方面的习题时都有很大帮助，但本人在查阅相关文献时发现即便是如此重要的原理，却没有对此一个基本的阐述。在笔者所阅读的高等代数教材中没有发现相关内容的章节。许多描述可交换矩阵性质的文章大都是零零散散的内容，更有些内容是片面的，笔者当初也深受其害。因此，本文旨在从最基础的矩阵可交换的充要条件出发，尽可能将基本的条件都囊括其中，并从特定角度阐述为何一般矩阵无法满足交换律。再列出并证明一些矩阵可交换的性质，并配以一些具体的在解题方面的应用。在本文的第一章叙述了一些为后面的理论提供支持的基础知识，包括一些引理与定义，在第二章给出了常见的矩阵可交换的充要条件，也推广到了矩阵多项式的可交换；第三章则用几个例题从线性变化以及行列式的角度给出了相关的性质。但也正因这是一块经常会用到的知识，所以很多相关定理都已被证明。不过它们非常散乱，且有些证明过于复杂，也可能已经过时了。故现将这方面的内容归纳整理出来，并给出了相关的证明。有些定理是已有的，有些则是笔者新增加的，进行了一定的简化，也优化了书写。但受笔者自身实力所限，有些证明可能不太严谨，文中也可能会出现部分错误，敬请谅解，也欢迎指正。
§1.2 符号表
????
?1
表示矩阵的逆
????
????
表示矩阵的转置
????
?1
0
表示线性变换的核
§1.3 基础知识
§1.3.1 矩阵的乘法
一般来说，矩阵的乘法就是两个矩阵相乘，但是这两个矩阵必须满足一个条件，那就是前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数必须相同，否则是没有意义的。而矩阵其实就是由许多数字组成的数阵，通过矩阵的相乘，我们在处理这些数据时其实是起到了“压缩”的作用，撇去了多余信息，透过现象看本质，以此达到简便地目的。
§1.3.1.1定义
设A为m×p的矩阵，B为p×n的矩阵，那么称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可表示为：
（AB）
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=
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目录
1．绪论 1
§1.1 本文研究的问题、工作及其意义 1
§1.2 符号表 2
§1.3 基础知识 2
§1.3.1 矩阵的乘法 2
§1.3.2 矩阵的行列式 3
§1.3.3 矩阵的逆矩阵 3
2.矩阵可交换的充要条件 4
§2.1 矩阵乘法不可交换的几何解释 4
§2.2 矩阵可交换的充分条件 5
§2.3矩阵可交换的充要条件 8
3.可交换矩阵的性质与应用 12
§3.1可交换矩阵的性质 12
§3.2例题 12
结论 18
参考文献 19
致谢 20
1．绪论
§1.1 本文研究的问题、工作及其意义
我们在学实数域上的乘法时，最先学的便是乘法交换律，事实上乘法交换律在初等运算上也展现出了巨大的作用，诸如平方差公式等都是建立在可交换的基础上的。然而若是放到矩阵上，却不再如此。本文旨在研究矩阵在何时可以进行交换，即满足乘法交换律。同样的，一旦满足这样的性质，随之带来的益处是巨大的，方便我们处理很多问题，所以本文的重心也放在了可交换矩阵的一些性质与应用上。
随着科技的迅猛发展以及计算机技术的提升，科学与工程计算即科学计算的研究极大地受到了广大科研工作者的重视。可以说，其应用范围已经涉及到了各个学科的各个领域。随着计算机技术的普及，使得矩阵理论与应用深受数学工作者、科研工作者和工程技术人员的关注。而且矩阵理论有许多优点，它可以将许多复杂的问 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
题简单化，在处理一些工程问题，甚至是计算机、通信等许多高端领域都有着很重要的应用，因此，使用矩阵理论来解决工程技术上的各类问题逐渐受到了工程技术人员的重视，并且其影响日益深化，慢慢成为数学建模中解决实际问题的常用方法。许多基础数学研究者的参与为矩阵论的发展提供了大量的基础知识的支持，而工程技术人员的加入又为该理论的应用开辟了广阔前景。而且我们可以看到在许多高校的很多看似与数学无关的专业，学生却需要学习线性代数这门课程，而线性代数的主体内容又是矩阵的内容，所以说矩阵论已经成为其它领域很重要的解决问题的工具了。。
众所周知，在很多领域里，如计算数学、金融数学、卫星无线电通信、运筹学与控制论、数学建模等等，很多问题都可以通过矩阵的计算来得到简化。但是很多研究人员在研究相关的计算问题时，发现如果能够把实数域的那套计算法则搬到矩阵的计算上，那么可以极大地简化矩阵的计算。然而这只是如果，很多情况下，它是没法实现的。因为绝大部分时候，矩阵不能满足实数域上很重要的几条性质，比如说乘法交换律以及消去律。因此，在进行一些矩阵的运算时，数的一些运算公式都无法直接应用。
而一旦满足了矩阵的乘法交换律，很多问题都会迎刃而解，即便是在解决高等代数方面的习题时都有很大帮助，但本人在查阅相关文献时发现即便是如此重要的原理，却没有对此一个基本的阐述。在笔者所阅读的高等代数教材中没有发现相关内容的章节。许多描述可交换矩阵性质的文章大都是零零散散的内容，更有些内容是片面的，笔者当初也深受其害。因此，本文旨在从最基础的矩阵可交换的充要条件出发，尽可能将基本的条件都囊括其中，并从特定角度阐述为何一般矩阵无法满足交换律。再列出并证明一些矩阵可交换的性质，并配以一些具体的在解题方面的应用。在本文的第一章叙述了一些为后面的理论提供支持的基础知识，包括一些引理与定义，在第二章给出了常见的矩阵可交换的充要条件，也推广到了矩阵多项式的可交换；第三章则用几个例题从线性变化以及行列式的角度给出了相关的性质。但也正因这是一块经常会用到的知识，所以很多相关定理都已被证明。不过它们非常散乱，且有些证明过于复杂，也可能已经过时了。故现将这方面的内容归纳整理出来，并给出了相关的证明。有些定理是已有的，有些则是笔者新增加的，进行了一定的简化，也优化了书写。但受笔者自身实力所限，有些证明可能不太严谨，文中也可能会出现部分错误，敬请谅解，也欢迎指正。
§1.2 符号表
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§1.3 基础知识
§1.3.1 矩阵的乘法
一般来说，矩阵的乘法就是两个矩阵相乘，但是这两个矩阵必须满足一个条件，那就是前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数必须相同，否则是没有意义的。而矩阵其实就是由许多数字组成的数阵，通过矩阵的相乘，我们在处理这些数据时其实是起到了“压缩”的作用，撇去了多余信息，透过现象看本质，以此达到简便地目的。
§1.3.1.1定义
设A为m×p的矩阵，B为p×n的矩阵，那么称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可表示为：
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