概率统计在实际生活中的应用
概率统计在实际生活中的应用[20191227090501]
摘要：在快速发展的信息时代，人们的生活与数学分支中的概率统计内容越来越紧密相连。本文列举了一些常见的概率原理在实际生活中的应用，包括古典概率、大数定律、中心极限定理、小概率事件原理等。另外，为了希望人们更清晰地认识到生活中的数学，对概率统计教学进行了一些反思。
查看完整论文请+Q: 3519,1607,2
关键字:古典概率；大数定理；中心极限定理；小概率事件原理。
目录
概率源于博弈问题。主角是两个法国的数学家，帕斯卡和费马。1651年，法国一位贵族梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定先赢满5局者，获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。问题是，赌金应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这个问题真是把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，达成了一致的意见：梅累和赌友都应得64个金币。
这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。惠更斯把讨论结果写成一本书，叫做《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。
概率论现在已经成了数学的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用。
以下是不同的概率类型在现实生活中的应用。
1. 古典概率在实际问题中的应用.
首先谈论一个抽奖的公平问题：很多人会疑惑先抽和后抽中奖的概率是否一样？通常人们认为后抽的中奖概率更低？我们来看一个例子。
1.1 全概率公式在抽奖中的应用
全概率公式是概率论中一个重要的公式，在实际中同样有广泛的应用。先引进定义：设 为样本空间Ω的一个划分，即 为互不相容[2]。
且 , ，i=1,2,n,则对任一事件A有
例1：假设某公司年终活动计划送出100张奖券，其中仅有3张中奖券，规定每人抽一张，现有10名员工依次上前抽取，试问：第一位抽奖者和第二位中奖的概率一样吗?如果不一样，是第一位更有可能中奖吗？
分析：设A表示中奖者为第一位抽奖者，B表示中奖者是第二位抽奖者，依全概率公式得：
, ,因此抽奖是公平的。
例1说明抽奖的先后顺序是不影响中奖概率的。
1.2然后看一个彩票问题
博彩业是投注社会福利彩票、各种体育彩票、地方发展彩票等的一种经济活动.和我们所说的赌博是一种性质.众所周知,博彩业在我国澳门十分发达,是其经济发展的支撑.除了地区,就个人而言,体育彩票是深受各种体育迷青睐的.那么到底生活中一些彩票的中奖率有多少呢?
例2：一种福利彩票称为幸运35选7，即购买时从01,02，，35中任选7个号码，开奖时从01,02，，35中不重复地选出7个基本号码和一个特殊号码。中各等奖的规则如下（表1.2.1）[3]：
表1.2.1 幸运35选7的中奖规则
中奖级别 中奖规则
一等奖 7个基本号码全中
二等奖 中6个基本号码及特殊号码
三等奖 中6个基本号码
四等奖 中5个基本号码及特殊号码
五等奖 中5个基本号码
六等奖 中4个基本号码及特殊号码
七等奖 中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码
试求各等奖的中奖概率。
解：因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有 个样本点。要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：
第一类号码：7个基本号码。
第二类号码：1个特殊号码。
第三类号码：27个无用号码。
若记 为中第 等奖的概率，可得各等奖的中奖概率如下：
若记 为事件“中奖”，则 为事件“不中奖”，且由 可得
这就说明：一百个人中约有3 人中奖，而中头奖的概率只有 ，即两千万个人中约有3人中头奖。因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高。
2．大数定律、中心极限定理在生活中的应用。
2.1中心极限定理在风险决策中的作用。
风险决策，相对简单的理解，是指在多种不确定因素的作用之下，对两个以上的方案进行选择。 “多种不确定因素”在学术名词上常称为“自然状态” （State of Nature)。若自然状态的统计特性（主要指概率分布）是可知的，则称为概率型决策；若自然状态的统计特性不知道，则称为不定型决策。这是风险决策的两类划分。相比较而言，不成熟的高新技术产业面临风险决策的时候更多。但现实情况是，这个术语适用于所有和风险投资无关的普通人经济生活：生活成本风险、购房风险、股市风险等等。
例3：某保险公司新推出了一种保险业务，为一年医疗保险。被保险人每年需要支付160 元的保险费，若在保险期内得了重病，受益人可得到赔金2万元。据统计，该市公民一年内得重病的概率是0.005，现有5,000 人购买此保险业务，问该公司一年内能从此业务获利达到20 万到40 万之间的概率？以及亏本的概率[4]？
解：设X 为一年中得重病的人数，得重病的
概率为 ，于是 ，则 ， ，总收益为
应用中心极限定理可得：
保险公司亏本的概率：
由以上结果可知，保险公司几乎不亏本，这也是保险公司会存在且业务领域不断扩大的原因。
例4：假设有一笔资金，总数看作1（可代表1 万元，也可以是100万元），现要投资A、B两种证券。若将 金额数投资A证劵，余下的 投资B证劵，于是把 看成一个投资组合。记投资A证劵的收益率为 ，投资B证劵的收益率为 ， 均为随机变量。如果已知 和 的均值即平均收益分别为 和 ，方差即风险分别为 和 ， 和 的相关系数为 。试求该投资组合的平均收益与风险（方差），若要使投资风险最小，则满足的 是多少[3]？
解 组合收益为 ，
该组合的平均收益为 .
而该组合的风险（方差）为
要使组合风险最小，则要求 关于 的极小值点，为此令
，
得 .
它与 ， 无关。又因为 中 的系数为正，所以以上的 可使组合风险达到最小。
譬如， 则
这表明风险最小的投资组合为：全部资金的70%投资A证券，余下的30%资金投向B证券。
2.2 大数定律与中心极限定理在其它生产生活中的作用。
例5：某公司共有电话分机200台，每台要使用外线通话的时间为5%，假定“每台分机是否使用外线”是独立事件，问该公司要90％以上的概率来保证分机用外线时不等待，总机要安装多少条外线[5]？
解：设同时使用外线的分机数为 ，则有 ，易得 .
设有 条外线，由题得 ，应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理有：
查表可知 ，故由 得 。取 ，即至少要装14条外线。
例6: 现有一大批种子，其中 ，现在其中任挑6000粒，试计算6000粒种子中优良品种所占的比例与 之差比 小的概率有多少[5]？
解：设挑选出的种子中有 粒优良种子，则 ，于是
方法一： 要估计的式子为
相当于在切比雪夫大数不等式中取 ，于是
，由题可得
即用切比雪夫不等式估计得出此概率不小于0.7685。
方法二：应用拉普拉斯中心极限定理，对于二项分布 可用正态分布 近似，于是所求概率为
从本例可以看出，由切比雪夫不等式所取的的下限是比较粗糙的，但由于它只需要知道X的期望和方差，故应用起来较为方便，但是要想得到较为精确的概率时，我们还是考虑用中心极限定理来解决问题。
3.数学期望在求解最大利润问题中的作用。
例7:某省农科所培育出A,B 两种杂交水稻品种，现在同等条件下进行试种植，各种10亩．收获情况如下[6]：
A品种 亩产量（kg) 750 780 800 840 880
亩数 2.5 1.5 2 2.5 1.5
B品种 亩产量（kg) 760 780 800 820 850
亩数 2 2 3 2 1
摘要：在快速发展的信息时代，人们的生活与数学分支中的概率统计内容越来越紧密相连。本文列举了一些常见的概率原理在实际生活中的应用，包括古典概率、大数定律、中心极限定理、小概率事件原理等。另外，为了希望人们更清晰地认识到生活中的数学，对概率统计教学进行了一些反思。
查看完整论文请+Q: 3519,1607,2
关键字:古典概率；大数定理；中心极限定理；小概率事件原理。
目录
概率源于博弈问题。主角是两个法国的数学家，帕斯卡和费马。1651年，法国一位贵族梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定先赢满5局者，获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。问题是，赌金应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？
这个问题真是把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，达成了一致的意见：梅累和赌友都应得64个金币。
这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。惠更斯把讨论结果写成一本书，叫做《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。
概率论现在已经成了数学的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用。
以下是不同的概率类型在现实生活中的应用。
1. 古典概率在实际问题中的应用.
首先谈论一个抽奖的公平问题：很多人会疑惑先抽和后抽中奖的概率是否一样？通常人们认为后抽的中奖概率更低？我们来看一个例子。
1.1 全概率公式在抽奖中的应用
全概率公式是概率论中一个重要的公式，在实际中同样有广泛的应用。先引进定义：设 为样本空间Ω的一个划分，即 为互不相容[2]。
且 , ，i=1,2,n,则对任一事件A有
例1：假设某公司年终活动计划送出100张奖券，其中仅有3张中奖券，规定每人抽一张，现有10名员工依次上前抽取，试问：第一位抽奖者和第二位中奖的概率一样吗?如果不一样，是第一位更有可能中奖吗？
分析：设A表示中奖者为第一位抽奖者，B表示中奖者是第二位抽奖者，依全概率公式得：
, ,因此抽奖是公平的。
例1说明抽奖的先后顺序是不影响中奖概率的。
1.2然后看一个彩票问题
博彩业是投注社会福利彩票、各种体育彩票、地方发展彩票等的一种经济活动.和我们所说的赌博是一种性质.众所周知,博彩业在我国澳门十分发达,是其经济发展的支撑.除了地区,就个人而言,体育彩票是深受各种体育迷青睐的.那么到底生活中一些彩票的中奖率有多少呢?
例2：一种福利彩票称为幸运35选7，即购买时从01,02，，35中任选7个号码，开奖时从01,02，，35中不重复地选出7个基本号码和一个特殊号码。中各等奖的规则如下（表1.2.1）[3]：
表1.2.1 幸运35选7的中奖规则
中奖级别 中奖规则
一等奖 7个基本号码全中
二等奖 中6个基本号码及特殊号码
三等奖 中6个基本号码
四等奖 中5个基本号码及特殊号码
五等奖 中5个基本号码
六等奖 中4个基本号码及特殊号码
七等奖 中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码
试求各等奖的中奖概率。
解：因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有 个样本点。要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：
第一类号码：7个基本号码。
第二类号码：1个特殊号码。
第三类号码：27个无用号码。
若记 为中第 等奖的概率，可得各等奖的中奖概率如下：
若记 为事件“中奖”，则 为事件“不中奖”，且由 可得
这就说明：一百个人中约有3 人中奖，而中头奖的概率只有 ，即两千万个人中约有3人中头奖。因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高。
2．大数定律、中心极限定理在生活中的应用。
2.1中心极限定理在风险决策中的作用。
风险决策，相对简单的理解，是指在多种不确定因素的作用之下，对两个以上的方案进行选择。 “多种不确定因素”在学术名词上常称为“自然状态” （State of Nature)。若自然状态的统计特性（主要指概率分布）是可知的，则称为概率型决策；若自然状态的统计特性不知道，则称为不定型决策。这是风险决策的两类划分。相比较而言，不成熟的高新技术产业面临风险决策的时候更多。但现实情况是，这个术语适用于所有和风险投资无关的普通人经济生活：生活成本风险、购房风险、股市风险等等。
例3：某保险公司新推出了一种保险业务，为一年医疗保险。被保险人每年需要支付160 元的保险费，若在保险期内得了重病，受益人可得到赔金2万元。据统计，该市公民一年内得重病的概率是0.005，现有5,000 人购买此保险业务，问该公司一年内能从此业务获利达到20 万到40 万之间的概率？以及亏本的概率[4]？
解：设X 为一年中得重病的人数，得重病的
概率为 ，于是 ，则 ， ，总收益为
应用中心极限定理可得：
保险公司亏本的概率：
由以上结果可知，保险公司几乎不亏本，这也是保险公司会存在且业务领域不断扩大的原因。
例4：假设有一笔资金，总数看作1（可代表1 万元，也可以是100万元），现要投资A、B两种证券。若将 金额数投资A证劵，余下的 投资B证劵，于是把 看成一个投资组合。记投资A证劵的收益率为 ，投资B证劵的收益率为 ， 均为随机变量。如果已知 和 的均值即平均收益分别为 和 ，方差即风险分别为 和 ， 和 的相关系数为 。试求该投资组合的平均收益与风险（方差），若要使投资风险最小，则满足的 是多少[3]？
解 组合收益为 ，
该组合的平均收益为 .
而该组合的风险（方差）为
要使组合风险最小，则要求 关于 的极小值点，为此令
，
得 .
它与 ， 无关。又因为 中 的系数为正，所以以上的 可使组合风险达到最小。
譬如， 则
这表明风险最小的投资组合为：全部资金的70%投资A证券，余下的30%资金投向B证券。
2.2 大数定律与中心极限定理在其它生产生活中的作用。
例5：某公司共有电话分机200台，每台要使用外线通话的时间为5%，假定“每台分机是否使用外线”是独立事件，问该公司要90％以上的概率来保证分机用外线时不等待，总机要安装多少条外线[5]？
解：设同时使用外线的分机数为 ，则有 ，易得 .
设有 条外线，由题得 ，应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理有：
查表可知 ，故由 得 。取 ，即至少要装14条外线。
例6: 现有一大批种子，其中 ，现在其中任挑6000粒，试计算6000粒种子中优良品种所占的比例与 之差比 小的概率有多少[5]？
解：设挑选出的种子中有 粒优良种子，则 ，于是
方法一： 要估计的式子为
相当于在切比雪夫大数不等式中取 ，于是
，由题可得
即用切比雪夫不等式估计得出此概率不小于0.7685。
方法二：应用拉普拉斯中心极限定理，对于二项分布 可用正态分布 近似，于是所求概率为
从本例可以看出，由切比雪夫不等式所取的的下限是比较粗糙的，但由于它只需要知道X的期望和方差，故应用起来较为方便，但是要想得到较为精确的概率时，我们还是考虑用中心极限定理来解决问题。
3.数学期望在求解最大利润问题中的作用。
例7:某省农科所培育出A,B 两种杂交水稻品种，现在同等条件下进行试种植，各种10亩．收获情况如下[6]：
A品种 亩产量（kg) 750 780 800 840 880
亩数 2.5 1.5 2 2.5 1.5
B品种 亩产量（kg) 760 780 800 820 850
亩数 2 2 3 2 1
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